数Ⅲで質問があります。 y＝xe^-x のグラフで、(α,0)からこの曲線に2本の接線が引けるαの

数Ⅲで質問があります。

y＝xe^-x
のグラフで、(α,0)からこの曲線に2本の接線が引けるαの範囲を求めよ。

という問題で画像のような解答だったのですが、接点のx座標を移動させて求めているのがよくわかりません。

どなたか教えていただけないでしょうか？

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2016/09/26 12:22

そうですね。

この解説だと、この曲線の接線のｘ切片ａのとる値の範囲を求めよ、
という設問の解説になってますね。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/26 12:13

変曲点が x=2 のところにあり、それ以下の「上に凸」の部分と、それ以上「下に凸」の部分がある曲線に対して、x 軸上から接線が２本引ける範囲を問われています。

　ですから、曲線上で点を動かして、そこを接点とする接線がx軸とどこで交わるか（それが α ）を調べるのは、極めてまっとうな解き方です。（確かに、お示しの解説の書き方は、なんか分かりづらいですが）
　そのときに、同一の「α」が曲線上の異なる２点で存在すればよいわけです。

　当然、「α」の方を動かして、曲線に対して２つの接線が引けるかどうかを調べてもよいです。

　ここでは、解答どおり「曲線上を動かす」やり方で解説します。
　つまり、曲線上の点を x : ∞ → -∞　で移動させて、

（１）曲線上の x：∞ → 2 の点からは、x 軸と ∞～4 （これが α ）で交わる接線が引ける。
（２）曲線上の x：2 → 1 の点からは、（１）とは別に、x 軸と 4～∞ （これが α ）で交わる接線が引ける。
　→以上から、4<α であれば、曲線上の 2<x と 1<x<2 の２点に接線が引ける。

（３）曲線上の x：1 → 0 の点からは、x 軸と -∞～0 （これが α ）で交わる接線が引ける。
（４）曲線上の x：0 → -∞ の点からは、（３）とは別に、x 軸と 0～-∞ （これが α ）で交わる接線が引ける。
　→以上から、α<0 であれば、曲線上の 0<x<1 とx<0 の２点に接線が引ける。

ということです。

（補足）
　α<0 の (α, 0) から、曲線の 0<x<1 の部分に接線が引けるのは見てわかりますが、曲線の x<0 の部分に接線が引けるのか、というのはちょっと迷います。

　試しに引いてみると、A>0 として、α = -A とすると、(-A, 0) から曲線に接線を引くことになります。その接点の x 座標を -B (B>0) とすると、y 座標は -Be^(B)。
　接線の傾きは
　　y' = e^(-x) - xe^(-x)
より
　　e^(B) + Be^(B)
よって接線の方程式は
　　y = [ e^(B) + Be^(B) ]x + C
これが (-A, 0) を通るので
　　0 = -A[ e^(B) + Be^(B) ] + C
よって
　　C = A[ e^(B) + Be^(B) ]
接線の方程式は
　　y = [ e^(B) + Be^(B) ]x + A[ e^(B) + Be^(B) ]
となって確かに引けます。

　この接線は、当然接点 (-B, -Be^(B)) を通るので
　　-Be^(B) = -[ e^(B) + Be^(B) ]B + A[ e^(B) + Be^(B) ]
よって
　　A = [ -Be^(B) + Be^(B) + B^2e^(B) ] / [ e^(B) + Be^(B) ]
　　　= B^2e^(B) / [ e^(B) (1 + B) ]
　　　= B^2 / (1 + B)
という A と B の関係です。

この回答へのお礼

ありがとうございます！解答も詳しく、とてもよくわかりました！

お礼日時：2016/09/26 13:11