数学の質問です。 数学苦手なので、詳しく教えていただけるとありがたいです。 よろしくお願いします！

数学の質問です。
数学苦手なので、詳しく教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします！

答えは
(1)a<-3/2, -1/2<a<1/2, 3/2<a
(2)接線l:x+(√3)y=2
(3)a=3
(4)x±(√3)y=2, x±(√35)y=6
です。

No.1 ベストアンサー 回答者： ngyikti 回答日時： 2016/10/11 00:57

回答を紙に書きました。

見えにくかったり、何か質問があれば言ってくださいね。

この回答へのお礼

点と直線の距離の公式などを利用する方法は全然思いつきませんでした。途中計算などもすごく楽になって驚きました！
お二方の解法をどちらともやらせて頂いたのですが、こちらをベストアンサーに選ばせて頂きます。
本当にありがとうございました！

お礼日時：2016/10/21 20:43

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/10/11 01:21

C1 は、原点 (0, 0) を中心とする半径 1 の円。

C2 は、(a, 0) を中心とする半径 1/2 の円。

（１）図を描けばわかる。
-1/2 < a < 1/2 なら交わらない。
-3/2 ≦ a ≦ -1/2, 1/2 ≦ a ≦ 3/2 なら交わる。
a < -3/2、3/2 < a なら交わらない。

（２）接線を
　　y = ax + b
とすると、これと C1 を連立させた
　　x^2 + (ax + b)^2 = 1
　→ x^2 + a^2 x^2 + 2abx + b^2 - 1 = 0
　→ (a^2 + 1)x^2 + 2abx + b^2 - 1 = 0
が重根を持つことから、判別式は
　　D = (2ab)^2 - 4(a^2 + 1)(b^2 - 1)
　　　= 4a^2b^2 - 4a^2b^2 + 4a^2 - 4b^2 + 4
　　　= 4a^2 - 4b^2 + 4 = 0
より
　　a^2 - b^2 + 1 = 0 　　　①

また、(1/2, √3 /2) を通るので
　　√3 /2 = (1/2)a + b　　　②

①②を解けば、②より
　　a = √3 - 2b　　　③
を①に代入して
　　3 - 4√3 *b + 4b^2 - b^2 + 1 = 0
　→ 3b^2 - 4√3 *b + 4 = 0
　→ (√3b - 2)^2 = 0
よって
　　b = 2/√3 = 2√3 /3
③より
　　a = √3 - 4√3 /3
　　　= -√3 /3

よって、接線の式は
　　y = -(√3 /3)x + 2√3 /3　　④

（３）④と C2 を連立させた
　　(x - a)^2 + [ -(√3 /3)x + 2√3 /3 ]^2 = 1/4
　→ x^2 - 2ax + a^2 + (1/3)x^2 - (4/3)x + 4/3 - 1/4 = 0
　→ (4/3)x^2 - (2a + 4/3)x + a^2 + 13/12 = 0
④と C2 が接するためには、これが重根を持てばよいので、判別式は
　　D = (2a + 4/3)^2 - 4*(4/3)*(a^2 + 13/12)
　　　= 4a^2 + (16/3)a + 16/9 - (16/3)a^2 - 52/9
　　　= (-4/3)a^2 + (16/3)a - 36/9
　　　= -(4/3) [ a^2 - 4a + 3 ] = 0
よって
　　a = { 4 ± √( 16 - 12 ) } /2
　　　= 2 ± 1
　　　= 1, 3

このうち、a=1 は（１）の条件を満たさないので、（１）を満たす範囲の a は
　　a = 3

（４）すみません、時間切れです。
　少なくとも、④および、④と x 軸について対称な
　　y = (√3 /3)x - 2√3 /3
は2つの円に共通で接します。

　あと２つは、2つの円の間で交差しない、「外側で2つの円に接する」接線ですね。時間があったら式を求めます。

この回答へのお礼

判別式の利用など、数学が苦手な私にとってはとても分かりやすい回答でした。
ありがとうございました！

お礼日時：2016/10/21 20:37

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/10/11 12:34

No.2 です。

尻切れトンボになってしまったので続きです。
(1)～(4) について図を下記に掲載します。

図形に関する問題では、図を描くことが重要です。
C1 は赤の円、C2 は青の円となり、C2 は a の値によって x 軸方向（横方向）に移動します。

(1) は、上の図で、C1（赤の円）と C2 （青の円）が「共有点をもたない」場合と、「共有点をもつ」場合（オレンジ）とでの C2 の中心位置の範囲から、a の範囲が分かります。

(2) は、接線ℓを緑で示します。

(3) は、接線ℓに接する C2 を2つ示しますが、この場合には C1 と交点を持たない「右側」が求めるものです。

(4) では、C1 と (3) の C2（右側）に共通の接線は、接線ℓの他に、接線ℓと上下対称なもの（緑）、および C1 と C2（右側）を「上側から」接するものと「下側から」接するもの（オレンジ）があることを示します。

　接線ℓではない緑は、接線ℓの「x 軸に対して対称」なものなので、y → -y として
　　　y = (√3 /3)x - 2√3 /3

　両円に接する接線を
　　　y = kx + m
として、C1 、 a=3 のC2 と連立させて
　　x^2 + ( kx + m )^2 = 1　　　　　(a)
　　(x - 3)^2 + ( kx + m )^2 = 1/4　　(b)

(a)は
　　x^2 + k^2 x^2 + 2kmx + m^2 - 1 = 0
　→ (k^2 + 1)x^2 + 2kmx + m^2 - 1 = 0 　　(c)

(b)は
　　x^2 - 6x + 9 + k^2 x^2 + 2kmx + m^2 - 1/4 = 0
　→ (k^2 + 1)x^2 + (2km - 6)x + m^2 + 35/4 = 0 　　(d)

各々が重根を持つことから
　　D1 = (2km)^2 - 4(m^2 - 1)(k^2 + 1)
　　　 = 4k^2 m^2 - 4k^2 m^2 + 4k^2 - 4m^2 + 4
　　　 = 4(k^2 - m^2 + 1) = 0
より
　　k^2 - m^2 + 1 = 0 　　(e)

　　D2 = (2km - 6)^2 - 4(m^2 + 35/4)(k^2 + 1)
　　　 = 4k^2 m^2 - 24km + 36 - 4k^2 m^2 - 35k^2 - 4m^2 - 35
　　　 = -35k^2 - 24km - 4m^2 + 1 = 0　　(f)

(e) より
　　m = ± √(k^2 + 1)　　　(g)
として (f) に代入し
　　-35k^2 ± 24k√(k^2 + 1) - 4(k^2 + 1) + 1 = 0
　→ ±24k√(k^2 + 1) = 39k^2 + 3
　→ ±8k√(k^2 + 1) = 13k^2 + 1

両辺を二乗して
　　64k^2 (k^2 + 1) = 169k^4 + 26k^2 + 1
整理して
　　105k^4 - 38k^2 + 1 = 0
　　(35k^2 - 1)(3k^2 - 1) = 0
よって
　　k = ±1/√35 = ±√35 /35 , ±1/√3 = ±√3 /3

k=±√3 /3 のとき (g) より
　m = ± 2√3 /3

k=±√35 /35 のとき (g) より
　m = ± 6√35 /35

ただし、(f)より同符号の k, m は(f)を満足しないので、k、m は異符号でなければならない。

よって、接線は
　y = ± (√3 /3) (x - 2)
　y = ± (√35 /35) (x - 6)