a,b,c,nは正の整数であって、次の等式が成り立つ。a+b+c=(n+1)^2,a+b=n^2,
b+c=(n-1)^2であるとき、a+cを6で割ったあまりが(ア)であり、さらにa+cがある整数の平方となるようなnの最小値は(イ)である。

という問に僕はこの様に考えました。
a+b+c=(n+1)^2,a+b=n^2,b+c=(n-1)^2より
a=4n
c=2n+1なので
a+c=6n+1となり、これを6で割ると、商n・余り1よって(ア)=1
a+cがある整数の平方となるようなnの最小値は
a+c=6n+1
n=1の時、7
n=2の時、13
n=3の時、19
n=4の時、25
したがって、n=4の時5の平方となるので最小値は(イ)n=4の時である。

この解き方であっていますか?

A 回答 (1件)

あっていると思います。



a+c=6n+1=k^2とおくと
n=(k+1)(k-1)/6となり、k+1とk-1はともに偶数か奇数
であるので、どちらかは6の倍数になります。
k+1=6xのとき、nの式に代入して整理すると
n=x(6x-2)
よってn=4,20,48・・・
k-1=6xのとき、nの式に代入して整理すると
n=x(6x+2)
よってn=8,28,60・・・
となります
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なお、答えは、

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F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
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Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
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(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
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Qa^2+b^2+c^2=3 のとき、a^3+b^3+c^3+3abc<

a^2+b^2+c^2=3 のとき、a^3+b^3+c^3+3abc<=6 を示せ。
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添削してもらった解答は、c<=b<=a と置いて、これより、c<=1 が分かる。
また、相加相乗を使うと、abc<=1 となるので、証明する式は、
a^3+b^3+c^3<=3 となる。ここで、c<=1だから、a^3+b^3+c^3<=a^3+b^3+1^3となるので、
a^3+b^3<=2を a^2+b^2+1^2=3,つまり、a^2+b^2=2のもとで示せばよい。
としてしまいましたが、c=1でa^3+b^3+c^3が最大になるとは限らないので、ここで考えは
破綻しました。
良い考えがありましたら、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>a^3+b^3+c^3≦3が示された

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   Vi^-={(a^1,・・・,a^n+1)∈S^n|ai>0} (i=1,・・・,n+1) とおくと
≪これらはS^nの開集合でありS^nを覆っている。≫←この部分は当たり前に言えてしまうのでしょうか?
≪これらのVi^+,Vi^-がR^nの開集合E^n={(x^1,・・・,x^n)∈R^n|(x^1)^2+・・・+(x^n)^2<1}と同相であることを示す。≫←何故、同相であることを示すのでしょうか?

写像φi:Vi^+→E^n  φi^-1:E^n→Vi^+を実際に移していく。
この後は何とかわかるのですが最初の方の疑問をどなたかお願いします。

Aベストアンサー

≪これらはS^nの開集合でありS^nを覆っている。≫
開集合であることも、ほぼ自明ですよね。
本当に証明するなら、Vi^+(あるいはVi^-)の任意の点の近傍が、Vi^+(あるいはVi^-)に含まれることを言えばいいです。
また、
V0^+ ∪ V0^- ∪ … ∪Vn+1^+ ∪ Vn+1^- = S^
なんで、実際、覆ってますよね。

≪これらのVi^+,Vi^-がR^nの開集合E^n={(x^1,・・・,x^n)∈R^n|(x^1)^2+・・・+(x^n)^2<1}と同相であることを示す。≫
何故?って、これは多様体の定義そのものです。

多様体というのは、一言で言えば、つまり、
「局所的にユークリッド空間と(同相だと)みなせるような図形のこと」です。
とりあえず、Wikipediaのページの説明を見て、多様体とは何なのか直感的な理解をつかんでください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93


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