a,b,c,nは正の整数であって、次の等式が成り立つ。a+b+c=(n+1)^2,a+b=n^2,
b+c=(n-1)^2であるとき、a+cを6で割ったあまりが(ア)であり、さらにa+cがある整数の平方となるようなnの最小値は(イ)である。

という問に僕はこの様に考えました。
a+b+c=(n+1)^2,a+b=n^2,b+c=(n-1)^2より
a=4n
c=2n+1なので
a+c=6n+1となり、これを6で割ると、商n・余り1よって(ア)=1
a+cがある整数の平方となるようなnの最小値は
a+c=6n+1
n=1の時、7
n=2の時、13
n=3の時、19
n=4の時、25
したがって、n=4の時5の平方となるので最小値は(イ)n=4の時である。

この解き方であっていますか?

A 回答 (1件)

あっていると思います。



a+c=6n+1=k^2とおくと
n=(k+1)(k-1)/6となり、k+1とk-1はともに偶数か奇数
であるので、どちらかは6の倍数になります。
k+1=6xのとき、nの式に代入して整理すると
n=x(6x-2)
よってn=4,20,48・・・
k-1=6xのとき、nの式に代入して整理すると
n=x(6x+2)
よってn=8,28,60・・・
となります
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