高校数学平面と直線の垂直条件について質問です！

Question

「平面αと直線Lが垂直であるための条件」が「平面上の２曲線と垂直」である理由が分かりません。
自分の考えでは、一次独立であるベクトルa,bを伸び縮みすることで、平面αを隈なく表せるから、その二つのベクトルに対して直線が垂直であれば、平面に対しても垂直であるのかなと考えています。
※隈なく表せると書きましたが、ベクトルa,bが一次独立の時、aまたはbがゼロベクトルになることはないはずなので、ベクトルaまたはｂ上は表現できないと考えるべきですか？
※一次独立の使い方が適当か否かも、自信がないので指摘して頂けると幸いです。
ご回答宜しくお願いします！<(_ _)>

yuji3690 · Accepted Answer

「平面上の２直線と垂直」であっても、その2直線が平行であれば、それに垂直な直線はその平面内にあると思います。

「平面上にある平行でない２直線と垂直」ということであれば、その2直線はどこかで必ず交わり、
2直線に垂直な直線は「その交点を通り、平面に垂直な直線」１つに限定されます。

「平面αと直線Lが垂直であるための条件」というのであれば、
「直線Lが『平面α上にあり、Lとαの交点を通る、平行でない任意の2直線』と垂直に交わること」という風になる気がします。
Lとαの交点を通らない直線と垂直かどうかは関係ないですから。
（というかねじれの関係なので垂直になるわけがないですが）

yuji3690 · Answer

「平面上の２曲線と垂直」というなら、y=x^2+1とy=-x^2-1に垂直に交わっているy軸（当然平面上にある）も該当するような？
そもそもこの場合はy軸以外で2つの曲線に垂直に交わる直線が存在しないような…

「平面αと直線Lの交点を通る、平面α上の2曲線」と垂直ってことかな？
それでも、直線Lが原点で交わるとして、原点を通る2直線がy=x^2とy=-x^2なら、
原点を通りx軸に垂直な平面上にある直線が全て該当する気がする。
（依然としてy軸も含まれている）
何か条件が足りないのだろうか？

Tacosan · Answer

ふつう「平面上の２曲線と垂直」とはしないよなぁと思いつつ, まず確認のために聞いてみよう.

「平面αと直線Lが垂直である」の定義はどうなっていますか?

高校数学 平面と直線の垂直条件について質問です！

「平面上の２直線と垂直」であっても、その2直線が平行であれば、それに垂直な直線はその平面内にあると思います。

「平面上の２曲線と垂直」というなら、y=x^2+1とy=-x^2-1に垂直に交わっているy軸（当然平面上にある）も該当するような？

ふつう「平面上の２曲線と垂直」とはしないよなぁと思いつつ, まず確認のために聞いてみよう.

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