条件(i)の、定数項の絶対値がx[2],,,,x[n]、とはどういうことですか?
P(x)は多項式なので、定数項は1項しかないはずだと思い、混乱しています。
定数項の絶対値がx[2]、x[3]、、、x[n]のいずれかということでしょうか?
ご意見をお聞かせください。
また、この問題は(全体像はつかめていませんが)そこそこの難問であることが予想されますので、もしよければ解答もよろしくお願いします。
問題本文
nを3以上の整数とし、x[1], x[2], x[3], ……, x[n]を0=x[1]<x[2]<x[3]< ……< x[n]を満たすn個の整数とする。このとき、次の条件(i), (ii)を満たす整数係数の多項式P(x)が存在することを示せ。
(i)P(x)はn+1次であり、定数項の絶対値はx[2], x[3], ……, x[n]である。
(ii)P(x)=0は相異なるn+1個の実数解をもち、それらを小さい方からα[1], α[2], ……, α[n+1]とするとき、α[1]<x[1]<α[2]<x[2]<……<α[n]<x[n]<α[n+1]を満たす。
A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
No.2です。
一般のnについての証明はむずかしいので、n=3のときだけを証明します。すると問題は、
0=x₁<x₂<x₃を整数としたとき、4次の多項式P(x)が存在して、
(ⅰ)定数項の絶対値はx₂かx₃である。
(ⅱ)P(x)=0は相異なる4個の実数解をもち、それらを小さい方からa₁、a₂、a₃、a₄とするとき
a₁<x₁<a₂<x₂<a₃<x₃<a₄ を満たす。
となります。
証明
まず、定数項の絶対値がx₂のときのうち-x₂のとき、
P(x)=b₀x⁴+b₁x³+b₂x²+b₃x-x₂ とおくと
P(x₂)=b₀x₂⁴+b₁x₂³+b₂x₂²+b₃x₂-x₂
P(x₃)=b₀x₃⁴+b₁x₃³+b₂x₃²+b₃x₃-x₂ となりますが
これを係数b₂、b₃に関する連立方程式と見て解くと、
b₂、b₃の分母はb₀、b₁、P(x₂)、P(x₃)の値によらず
x₂²x₃-x₃²x₂=x₂x₃(x₂-x₃)となるので、
b₀=b₁=x₂x₃(x₃-x₂)、P(x₂)=2x₂x₃(x₃-x₂)-x₂、P(x₃)=-x₂x₃(x₃-x₂)-x₂
を上の式に代入してb₂、b₃について解けば、b₂、b₃の分子は、その分母の倍数になり
b₂、b₃は必ず整数として求まります。
こうして求めた整係数の多項式P(x)はP(x₁)=P(0)=-x₂<0、P(x₂)>0、P(x₃)<0
で、b₀>0だからlim(x→±∞)=+∞なので、連続関数の中間値の定理より条件(ⅱ)を満たす
a₁、a₂、a₃、a₄が必ず存在します。
定数項の絶対値がx₂のときのうちx₂のときは
P(x₂)=b₀x₂⁴+b₁x₂³+b₂x₂²+b₃x₂+x₂
P(x₃)=b₀x₃⁴+b₁x₃³+b₂x₃²+b₃x₃+x₂ において
b₀=b₁=x₂x₃(x₂-x₃)、P(x₂)=-2x₂x₃(x₃-x₂)+x₂、P(x₃)=x₂x₃(x₃-x₂)+x₂
をこの2式に代入してb₂、b₃について解けば、やはりb₂、b₃は整数として求まり、
これらの整係数を持つ多項式P(x)は
P(x₁)=P(0)=x₂>0、P(x₂)<0、P(x₃)>0で、b₀<0よりlim(x→±∞)=-∞なので
やはり連続関数の中間値の定理より条件(ⅱ)を満たすa₁、a₂、a₃、a₄が必ず存在します。
定数項の絶対値がx₃のときも、まったく同じようにして証明できます。
No.2
- 回答日時:
まちがっていたらごめんなさい。
これは定数項の絶対値が, x[2], x[3], ……, x[n]のそれぞれの場合について
(ii)を満たす整数係数のn+1次多項式P(x)が存在することを主張しているのでは?
もちろん、それぞれの場合のP(x)はちがうものです。
たとえば、n=3でx[1]=0、 x[2]=1、x[3]=2 としたときの
P(x)=2x⁴-2x³-11x²+13x-1 と
P(x)=2x⁴-2x³-12x²+16x-2 です。
No.1
- 回答日時:
(ii)の条件だけならとても簡単な問題なので、(i)が重要。
定数項は当然1個か0個である。そしてx[2]〜x[n]は相異なる。となれば(i)の条件から、定数項の絶対値はx[2]、すなわちn=2でなくてはならない。ところが冒頭で、nは3以上だと言っている。そりゃ矛盾ですね。仰る通り。
ミスプリかなと思います。というのも、出題文は「n個の整数」だの「相異なる」だの「小さい方から」だのと冗長に念を押してみたかと思えば、一方で「(i),(ii)を満たす」という表現の意味が or なのか and なのかを明示しておらず、いや、どうもこの出題者は不注意な方らしい。
もしかすると、
(i) P(x)はn+1次であり、定数項の絶対値は x[2]x[3]…x[n] (という積)である。
という出題なのかもね。これなら解けるかなあ?
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