微分方程式の解き方を教えて下さい。

ラプラス変換を使って解く問題のようですが、解法がわかりません。
教えていただけますか。四問あります。

(1) x''-4x'+5x=2 exp[3t], x(0)=x'(0)=1
(2) x''+3x'+2x=2t exp[-t], x(0)=x'(0)=1
(3) X'''-2x'+4x=0, x(0)=2, x'(0)=1, x''(0)=8
(4) x'''+4x'=t, x(0)=x'(0)=0, x''(0)=1

No.2 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2017/06/04 21:42

ANo.1・・!

ゴメン・・!
大分計算ミスがあった模様・・ m(_ _;)m

(1)
X(s) = (s-3)/(s^2-4s+5) + 2/{(s-3)(s^2-4s+5)}
X(s) = (s-2)/{(s-2)^2+1}－1/{(s-2)^2+1}＋1/(s-3)－(s-2)/{(s-2)^2+1}－1/{(s-2)^2+1}
= 1/(s-3)－2/{(s-2)^2+1}
∴x(t) = exp(3t)－2exp(2t)・sint

(2)
X(s)(s^2+3s+2) = (s+1)＋2/(s+1)^2
X(s)= 1/(s+2)＋2/{(s+1)^3(s+2)}
= 2/(s+1)－1/(s+2)－2/(s+1)^2＋2/(s+1)^3
x(t)= 2exp(-t)－exp(-2t)－2texp(-t)＋exp(-t)・t^2

(3)
X(s)(s^3-2s+4)=2s^2+s+4
X(s)=(2s^2+s+4)/(s^3-2s+4)
=11/5・(s+1)/(s^2-2s+2)-1/5・1/(s+2)
=11/5・((s-1)/{(s-1)^2+1}+2/{(s-1)^2+1}－1/5・1/(s+2)
x(t) = 11/5・{exp(t)・cost＋2exp(t)・sint}－1/5・exp(-2t)

(4)
X(s)(s^3+4s)=1+1/s^2
X(s)=(s^2+1)/{s^3(s^2+4)}
=1/4・(1/s+1/s^3)－1/8・2/(s^2+4)
x(t) = 1/4－t^2/8－1/8・sin(2t)

この回答へのお礼

Ae610様
　要領の良い解説ありがとうございます。まだ（１）しか見れていませんがこんな風にバラシて行くんですね。
　なるほど。 (s-3)/(s^2-4s+5) 　と 2/{(s-3)(s^2-4s+5)}　は通分する必要は無いのかーー。
　通分しなくて良い項目まで通分して訳が分からなくなっていました。

　2/(s-3)(s^2-4s+5) は
　A/(s-3) + (Bs+C)/(s^2 -4s +5) とおいて　ABCを解いて A=1,B=-1,C=1で
　2/(s-3)(s^2-4s+5) 　= 　1/(s-3) + (-s +1)/(s^2 -4s +5)
= 1/(s-3) - (s-2)/(s^2 -4s +5) - 1/(s^2 -4s +5)
= 1/(s-3) - (s-2)/{(s-2)^2+1} - 1/{(s-2)^2+1}
ですね。
　
　本当にありがとうございます。他の問題も追いかけてみます。

お礼日時：2017/06/04 22:43

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2017/06/04 17:41

(1) x''-4x'+5x=2exp[3t], x(0)=x'(0)=1

x(t) = exp(3t)－2exp(2t)・sint

(2) x''+3x'+2x=2texp[-t], x(0)=x'(0)=1
x(t) = 2exp(-t)－exp(-2t)－texp(-t)＋exp(t)・t^2/2

(3) X'''-2x'+4x=0, x(0)=2, x'(0)=1, x''(0)=8
x(t) = 2exp(t)・cost－exp(t)・sint

(4) x'''+4x'=t, x(0)=x'(0)=0, x''(0)=1
x(t) = 1/16－t^2/8－1/32・sin(2t)

計算ミスってたらばご容赦・・!

この回答へのお礼

Ae610様
早速のご回答（解答）ありがとうございます。

申し訳ありませんが、解答までの過程も教えていただけないでしょうか？

例えば（１）であれば
x''-4x'+5x=2exp[3t]
両辺をラプラス変換して
( s^2 X-sx(0)-x'(0) ) -4( sX-x(0) ) +5X = 2/(s-3)
初期値を代入して
(s^2 X-s -1 ) -4( sX -1 ) +5X =2/(s-3)
(s^2 -4s +5)X -s +3 =2/(s-3)
(s^2 -4s +5)X = 2/(s-3) +s -3
(s^2 -4s +5)X = ( 2+ (s-3)^2 ) /(s-3)
X=( s^2 -6s +11)/(s-3)(s^2 -4s +5)
このあと部分分数分解できれば良いのだと思うのですが、うまく変形できません。

よろしくお願いいたします。

お礼日時：2017/06/04 18:59