開球 凸集合 証明

以下の問題が分かりません。

a∈R^nとする。　B(a,ε)={x∈R^n|d(a,x)<ε}が凸集合であることを示しなさい。

任意のx,y∈B α∈(0,1)に関して(1-α)x+αy∈Bを示せばよいことはわかるのですが、具体的にどのようにすればよいかわかりません。

よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/06/16 02:08

うん, それはあさっての方向に突き進むね.

x, y ∈ B といっているんだから ||x-a|| < ε, ||y-a|| < ε はわかってる. ということで, z = (1-α)x + αy に対して z-a を (x-a) と (y-a) を使って書いてみよう. ねんのために書いておくと
(1-α) + α = 1
だね.

この回答へのお礼

なんとなく分かってきました。
z-a=(1-α)(x-a)+α(y-a)　
このノルムをとると||z-a||=||(1-α)(x-a)+α(y-a)||
三角不等式より||(1-α)(x-a)+α(y-a)||≤||(1-α)(x-a)||+||α(y-a)||=|1-α|||(x-a)||+|α|||y-α||=(1-α)||x-a||+α||y-a||
||x-a|| < ε, ||y-a|| < ε に注意すると、(1-α)||x-a||+α||y-a||<(1-α)ε+αε=ε
よってz ∈ B となるからBは凸集合である。

という感じであっているでしょうか？　間違いがありましたらご指摘をいただけますか？　よろしくお願いします。

お礼日時：2017/06/16 07:24

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/06/16 12:14

それで OK.

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時：2017/06/16 14:01

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/06/16 00:00

距離だったら, 三角不等式突っ込めば終わりでは?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

任意のx,y∈B α∈(0,1)についてz=(1-α)x+αyとaとの距離を評価すると、

||z-a||=||{(1-α)x+αy}-{(1-α)a+αa}||≤||(1-α)x+αy||+||(1-α)a+αa||

ここまではできましたが、このあとが分かりません。

よろしければ回答よろしくお願いします。

お礼日時：2017/06/16 01:24

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/06/14 23:50

さしあたり d(a,x) の定義がわかりません.

この回答へのお礼

空間R^n内の二点x,y∈R^nの距離をd(x,y)=||x-y||と定義しています。

よろしくお願いします。

お礼日時：2017/06/15 22:03