次元解析の概念がわかりません。高校生です。次元解析することで、ミスを減らしたりすることができるら

Question

次元解析の概念がわかりません。
高校生です。
次元解析することで、ミスを減らしたりすることができるらしいのですが、例えばF＝V＋mという式の何がダメなのかよくわかりません。
こういう場合もあり得ると思うのですが、
というのはtの関数でxの位置を表す時x＝t^4とかだってあり得ます。
これは数値から単位を予測しても揃っていません。
次元解析っていうのはその可能性を排除していると思うのですが、
どう考えれば良いのでしょうか？

stomachman · Accepted Answer

式の左辺と右辺の次元が合っているというのは、「量を測る単位を変えても式が成り立つ」ということです。注意しなくてはならんのは、このとき、定数も次元を持っているかも知れない、ということ。その場合、単位を変えれば定数の数値は変わってしまいます。
　　x = t^4
という関係は、右辺と左辺で次元が合っていないように見えますが、これは定数Cを入れて
　　x = C t^4 
と見れば良い。で「たまたま」Cが丁度1であった、と考える訳ですが、xの単位が[m]、tの単位が[s]だとすればCの単位は[m/(s^4)]でなくてはなりません。
　さてそこで、長さの単位を[m]から[mm]へ、時間の単位を[s]から[ms]へ変えたとしますと、
　　x = C t^4 
という式そのものは何も変わらないのだけれども、Cの値が10^(-9) [mm/(ms^4)]に変わる。ですから、もはや
　　x = t^4
は正しくない、というわけです。

puyo3155 · Answer

うーん、難しく考えすぎかな。

意味のある物理法則から、導き出される式は、左右の次元が必ず一致している。だとすれば、それを逆手にとって、ターゲットの物理量の次元になるように、わかっている物理量を組み合わせれば、それなりに意味のある物理法則になっている可能性が高いってこと。

とまあ、それが本質なんだけど、高校生の物理の計算なら、出て来る数式は、すべて既知の数式とそこから導かれる公式なわけ。だとすれば、計算過程で、左右の次元が違うっていうのは、
計算間違いしか考えられない・・・っていうこと。次元解析というほどのものではないかと。

tknakamuri · Answer

もうちょい補足。
>もし、変位がt^4に比例する物理現象があるなら、それなりの
>換算係数が既にあるか或いは考えだされるだけ

具体的にやってみましょう。

変位を時間で微分すると dx/dt=v 速度ですね。
時間で微分したから、単位は m/s
速度を微分すると dv/dt= a 単位は m/s^2 加速度です。
加速度を微分すると、da/dt=α 単位は m/s^3 加加速度かな？(^^;
加加速度を微分すると dα/dt=β 単位は m/s^4 加加加速度(^^;

加加加速度一定として変位を求めると、βを4回積分すればもとまるから
∫∫∫∫βdtdtdtdt=(1/24)βt^4=x

次元に何の矛盾も起きません。以上。

tknakamuri · Answer

>というのはtの関数でxの位置を表す時x＝t^4とかだってあり得ます。

重力による落下の距離は (1/2)gt^2 だが次元は勿論 L で T^2 とはしない。
重力加速度の次元が次元の違いを請け負ってくれるからです。

もし、変位がt^4に比例する物理現象があるなら、それなりの
換算係数が既にあるか或いは考えだされるだけ。これで何の不都合もないし
可能性を何も排除していません。

闇雲に次元を廃止しても、とてつもなく便利な道具を失うだけで
何の意味もないです。

asano_nagi · Answer

次元解析でわかるのは、あくまでも、「この計算は明らかに間違い」と言う例だけです。
次元解析が正しいからその式は正しいとは断言できません。

だから比例の式は式としては成立します。
ただし、それを反映する自然法則があるかどうかはわかりません。

asano_nagi · Answer

補足すれば、F=V+m という単位の異なる量の加減はあり得ません。
運動方程式、F=ma は正しい式ですが、加速度の単位として、m/s^2 でも km/h^2 でも、あるいは質量の単位として、gでもkgでも、成立します。
しかし 速度の単位 m と 質量の単位 g でF = V+mが成立しても、質量の単位をkgにするだけで、その式は成立しないのです。

asano_nagi · Answer

単位が揃ってないということは、F=v+m という式を満たす「自然法則は存在しない」というとです。
自然法則に限ればそういう可能性はあり得ません。
それが物理学の世界です。

だから、自然界に存在しない法則を排除できる=間違いを防止できるということです。

そして、x=t^4 という運動が観測できたなら、その運動を引き起こしている力が存在している言うことです。
つまり、x=t^4 という式は、それを引き起こす原因について、なにも示していないということが次元解析によってわかります。

むらさめ · Answer

F:運動量　次元　m･L/t　SI単位で例を出すと　kg･m(メートル)/sec
V:速度　次元　L/t　SI単位の例　m/sec
m:質量　次元　m　SI単位の例　kg

F=V+m
速度と質量では、次元が異なり、足し算が出来ない。
速度と足し引きできるのはやはり速度、質量と足し引きできるのは質量(例外有り)。
次元が合わないものは足し算や引き算が出来ないので、試験の選択問題等で次元の比較で選択肢を減らせます。

tの関数でxの位置を表す時x＝t^4　←　有り得ないです。
もしそうならば導出する過程が法則として認知されていて式中に係数が存在しています。

E=mc^2　←　アインシュタインが一般相対性理論で述べた質量とエネルギーが等価という有名な法則ですが、
この場合もc(光速)^2の係数があるので右辺と左辺の次元は　m･L^2/t^2となっていて同じになっています。

次元解析の概念がわかりません。 高校生です。 次元解析することで、ミスを減らしたりすることができるら

式の左辺と右辺の次元が合っているというのは、「量を測る単位を変えても式が成り立つ」ということです。

うーん、難しく考えすぎかな。

もうちょい補足。

>というのはtの関数でxの位置を表す時x＝t^4とかだってあり得ます。

次元解析でわかるのは、あくまでも、「この計算は明らかに間違い」と言う例だけです。

補足すれば、F=V+m という単位の異なる量の加減はあり得ません。

単位が揃ってないということは、F=v+m という式を満たす「自然法則は存在しない」というとです。

F:運動量 次元 m･L/t SI単位で例を出すと kg･m(メートル)/sec

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