2次形式

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線形代数:2次形式の標準形について

…下記の実2次形式の標準形を求める問題ですが、何回やっても解答と合いません。 解答が間違ってるのでしょうか? 実2次形式 x1*x2+x2*x3+x3*x1 解答はy1^2-y2^2-y3^2となってますが、係数行列の固有...…

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線形代数学 2次形式

…次のような問題です。 x^2+(2k)y^2+4z^2-2xz+(2k)yz (1)行列X=(x,y,z)とするとき、2次形式X(転置)・A・Xでの行列Aを求めよ。 (2)上記の2次形式が正値であるようなkの範囲を求めよ。 というもので、(1)で ...…

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線形代数 2次形式の直行行列の求め方について

…はじめまして、norio0427です。 線形代数の2次形式に関する問題に関して教えていただきたいのですが、 2次形式 ax^2+by^2+cz^2+2dxy が与えられた場合、 (a d 0)(x) (x y z) (d b 0)(y) (0 0 c)(z) と表さ...…

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線形代数 2次形式

…A= (0,1,1) (1,0,-1) (1,-1,0) x= (x) (y) (z) の2つの行列があります(見づらくてすみません) 2次形式Q(x)=x^tAx (^tは転置行列の意です)を、変数x,y,zで表せ。 という問題ですが、わかりません。 分かる...…

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2次形式 対角化

…次の2次形式を対角化せよ q(x1,x2)=x1^2+4x1x2+x2^2 これはどうやって解くんですか? 答えはq(x1,x2)=3y1^2-y2^2 |y1 |=| √2/2 √2/2 | | x1 | |y2 |=| -√2/2 √2/2 | | x2 |…

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2次形式の判定法

2次形式が正定値、半正定値、負定値、半負定値であることはどのように示せばいいのですか? たとえば、f(x)=-x1^2+6x1x2-9x^2 とするとこの表現行列は求めました。 あと、このf(x)の符号も求め...…

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2次形式(線形代数)

…2x^2+y^2+2z^2-2zxを標準形にする過程で、固有方程式を解き(固有値λ=1,3)λ=1のとき||x1||=1・・・ (*)として解きますよね? (今、2次形式の係数行列の対角化行列を求めているところです。) x1=(a b c)=(a...…

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A を対称行列とする.2 次形式txAx をx の関数と考えるとき,|

…A を対称行列とする.2 次形式txAx をx の関数と考えるとき,||x||^2 = 1の制 約の下で最大化したときのtxAx をx の値がA の最大の固有値に等しくなること を示せ. 同様に,||x||2 = 1の制約の下で最小...…

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最大値・最小値を求める問題について

…2つの2次形式 F(x,y) = 7x^2 + 2√3xy + 5y^2 G(x,y) = x^2 + y^2 が存在するとき、F/G の最大値と最小値を求めよ。 という問題について Fを行列の対角化を用いて2次形式の標準形に直すことを利用して求...…

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2元2次方程式の解の個数について

…任意の2元2次形式 f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2 において、 f(x,y)=n (nは自然数)の原始解の個数を求める一般的な定理はありますか? ちなみに、行列を使った2元2次形式の一般論のところは勉強しました。 n...…

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SO(N)とクリフォード代数

…独学で物理数学を勉強している大学生です。 簡単な質問で恐縮ですが、 SO(N)は2次形式を不変にする。 2次形式を1次形式の2乗の形に書くと (x_1^2+…) = (γ_1x_1+…)^2 でγ_iは以下の交換関係...…

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いい参考書や問題集があったら教えてください!

…僕は、とある大学の2年生で、幾何学(線型代数学)を勉強してますが、分からなくて困っています! (前期試験は、全然できませんでした。) 教科書だけではまったく分からないので問題がたく...…

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準正定値とは?

…講義で、2次形式 Z = X'AX が準正定値のとき、凸関数であることを証明せよ という課題が出たのですが、準正定値をいう単語の意味がわからず 解くことができません。 検索エンジンでも...…

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線形代数の質問。

…線形代数の問題で 2次形式A(X) = X^TAX = 6x1^2 + 4x1x2 + 3x2 を標準形にせよ。 という問題なのですが 最後が3x2というのは3x2^2のミスでしょうか? そうであれば答えは 2x1^7 + 7x2^2と算出できます。...…

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線形代数について

…標準形についてなんですが、4個の変数a,b,c,dの2次形式5a・a-2√2ac+3b・b+4c・c+6d・dの標準形を求めよという問題なのですが例題を見てもわかりません、お願いします。 ・は掛けるを意味してい...…

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線形代数

…次の線形代数の問題がわかりません。 x=x1 y=y1 とする。 次の実2次形式F(x)を直交変換x=Tyを用いて標準 x2 y2 形(λ1y1^2+λ2y2^2の形)にするとき、Tと標準形を求めよ。 F(x)=2x1^2+5x2~2+4x1x2 直交変換...…

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位相空間の問題です。

…位相空間の問題です。 3変数2次形式 f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1 に対し C_f:={(x_1,x_2,x_3)∈R^3;f(x_1,x_2,x_3)>0} とおき、R^3の相対空間によってC_fを位相空間とみなす。 このときC_fの連結成分の...…

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2元2次方程式の解の個数について

…2元2次方程式の解の個数について f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2 とおくとき、f(x,y)=n (nは自然数)の原始解の個数を求める定理は知られていますか? ちなみに行列を使った2元2次形式の一般論は勉強しました...…

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線形代数について

…次の問いに答えよ。 (1)次の2次形式の符号を求めよ。 f(x,y,z,w) = x^2+4y^2+4z^2-w^2+2xy-2xz+2yz+2xw+4yz+4yw g(x,y,z,w) = xz+xw+yz+yw (2)h(x,y,z)=x^2+z^2+6xy+4xz+6yzとおく。 (x y z)がx^2+y^2+z^2=1を満たすとき、h(x,y,z)の...…

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線形代数 二次形式 符号

…(1)次の2次形式の符号を求めよ。 f(x,y,z,w) = x^2+4y^2+4z^2-w^2+2xy-2xz+2xw+6yz+4yw という問題で、 f(x,y,z,w) = x^2+4y^2+4z^2-w^2+2xy-2xz+2xw+6yz+4yw =(x+y-z+w)^2-(y-z+w)^2++4y^2+4z^2-w^2+6yz+4yw =(x+y-z+w)^2+3y^2+3z^2-2w^2+8yz+2wy+2...…

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