行列の2次形式の問題を教えてください！

以下の行列の問題で解き方がわからないので教えてください！

対称行列Aに関する次の2次形式の制約付き最適化問題を解き、xTAxを最大とするベクトルx1と最小とするベクトルx2をそれぞれ求めなさい。

A=│3 1│
　 │1 3│
目的関数：xTAx
制約条件：xTx=1

よろしくお願いします。※Tは転置行列の意です。

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/14 10:42

x↑=(x、y)

とすると
目的関数f(x、y)=3x^2+2xy+3y^2
束縛条件g(x、y)=x^2+y^2-1=0

ラグランジュの未定乗数をλとして
h(x、y、λ)=f(x、y)+λg(x、y)=(3+λ)x^2+2xy+(3+λ)y^2-λ=0
∂h/∂x=2(3+λ)x+2y=0 ①
∂h/∂y=2(3+λ)y+2x=0 ②

①×y-②×x→2y^2-2x^2=0 → y=±x
円上の点なので
(x, y)=(±1/√2、±1/√2) の4点が停留点

円上に停留点4個だから極小点2個と極大点2個なので
xとyが同符号→f(x、y)=4(極大値=最大値)
×とyが異符号→f(x、y)=2(極小値=最小値)

多分、x=cosθ、y=sinθとして地道にθで微分しても
解けると思う。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/14 16:52

#3を訂正します

A
=
(3,1)
(1,3)
の
固有値2に対する固有ベクトル(1/√2,-1/√2)
固有値4に対する固有ベクトル(1/√2,1/√2)
だから

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/14 11:28

A

=
(3,1)
(1,3)

P
=
(1/√2.,1/√2)
(-1/√2,1/√2)

H
=
(2,0)
(0,4)

x=(cosθ;sinθ)

とすると

P^(-1)
=
(1/√2,-1/√2)
(1/√2,1/√2.)
=
(cos(π/4),-sin(π/4))
(sin(π/4),cos(π/4))


P^(-1)AP=H
A=PHP^(-1)

P^(-1)x=(cos(θ+π/4);sin(θ+π/4))
(tx)P=(cos(θ+π/4),sin(θ+π/4))

(tx)Ax
=
(tx)PHP^(-1)x
=
2{cos(θ+π/4)}^2+4{sin(θ+π/4)}^2
=
2+2{sin(θ+π/4)}^2

2≦2+2{sin(θ+π/4)}^2≦4
∴
2≦(tx)Ax≦4

sin(θ+π/4)=0のとき
θ=-π/4のとき
x1=(cosθ,sinθ)=(1/√2,-1/√2)
θ=3π/4のとき
x1=(cosθ,sinθ)=(-1/√2,1/√2)
最小値2

sin(θ+π/4)=1のとき
θ=π/4のとき
x2=(cosθ,sinθ)=(1/√2,1/√2)
θ=-7π/4のとき
x2=(cosθ,sinθ)=(-1/√2,-1/√2)
最大値4

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/02/13 22:15

成分で計算すればいい. 内容的には高校生レベル.