高１数学です。 この図の(△ABCの内心をIとする)、 △IBDと△ABCの面積比の求め方教えてくだ

高１数学です。
この図の(△ABCの内心をIとする)、
△IBDと△ABCの面積比の求め方教えてください！ちなみに答えは5:21です。お願いします！

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/12/17 21:55

暗算でもできる問題！

内心は、内接円の中心だが、各角の二等分線の交点だから、
BD:BA=5:10=DI:IAだから、△BDI=5なら、△BDA=5+10=15
同様に、BD:DC=5:2より△ABC=15・(7/5)=21 ∴ 5:21

No.2 回答者： jyuguritto 回答日時： 2017/12/17 19:20

いろんな解法がありますが、縦と横の縮尺比で検討します。

与えられた条件で描いた図で進めます。
AI:DI=3:1　これは既知の条件から、高さの比も3：1
∠Aの2分割ですから、AB:BC=a:bが成り立つので
BD=5、DC=2
△ABCの面積Sは
S=7×ｈ/2
△BDIの面積S1は
S1=5×ｈ/3×1/2
　＝５ｈ/6
S１:S=10ｈ/3：7×ｈ/2
　　　＝5/6：7/2
　　　＝5/6：21/6
　　　＝5：21
以上です。

No.1 回答者： bluemarine517 回答日時： 2017/12/17 14:30

高さが等しい三角形の面積比は底辺の長さの比で決まります。

まず△ABCと△ABDに注目します。
底辺の長さの比がBC:BD=7:5ですから、△ABC:△ABD=7:5です。

次にADを底辺とみて、△BDA:△BDIを考えます。
Iは内心ですから、底辺の長さの比DA:DI=3:1です。
よって、△BDA:△BDI=3:1です。

ここで、△ABD=△BDAなので、以下の関係が成り立ちます。(以下△は省略しますね。）
ABC:ABD:BDI
7 : 5
3 : 1

ここでABDの面積をそろえるために、上段を３倍、下段を５倍します。
すると、
ABC:ABD:BDI
21 : 15
15 : 5

よって、
ABC:ABD:BDI＝21:15:5となり、△BDI=△IBDですから、
△IBD:△ABC=５：２１となります。