物理の近似

ヤングの実験で、スリットからスクリーンまでの距離Lがdやxに比べて十分に離れているとき、S1PとS2PがOPに平行だとみなして経路差を2dsinθ≒2dtanθ≒2dx/Lで近似できると習ったのですが、OPではなくS1PやS2Pを基準にθをとって考えてはいけないのでしょうか。
それで計算すると経路差が2(dx±d²）/Lになって、三平方から計算した結果と合わないので間違っているというのはわかるのですが…
d²はdxに対して無視できるほど小さいとは考えられませんし…

どこが間違っているのでしょうか？
見当違いなことを言っているようでしたら指摘していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 計算過程は、
  S1からPへ向かう角とS2からPへ向かう角がどちらもθとみなせるとすると、
  S2P－S1P≒2dsinθ≒2dtanθ
  このときθの基準をOPではなくS1Pにするとtanθ=x-d/Lとなって
  S２P－S1P≒2d(d-x)/L
  という具合で、これが違うとすると、
  「S1PとS2Pが平行とみなせる」
  がおかしいのではないか、と考えてしまったのが始まりです。
  言葉足らずで申し訳ありません。

    補足日時：2018/01/06 18:06

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/01/09 12:41

>これが三平方で導いた結果と一致するから、

>OPに平行だとみなしていい

たまたまOPに平行で計算すると上手く行きますが
S1PやS2Pだとずれますよね。
だから、「～に平行」はちょっと大雑把なんです。
厳密式があるなら、そこを出発点に近似を考えた方が
良いのですよ。逆にそういう経験を積むと、
何処まで端折って近似してよいか解ります。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/01/06 19:24

>次元はあっていますよ。

申し訳ないちょっと勘違いしてました。

まず、2dx/L　ですが、これは光路差の厳密式の一次近似です。
OPに平行ということで求める計算結果と一致しますが、
これは高校生向けの説明で、半ばペテンのようなものです(^^;

ルートのテーラー展開による一次近似を使うと

√(L^2 + (x+d)^2) - √(L^2 + (x-d)^2) =
= L{1 + (1/2)(x+d)^2/L^2} - L{1 + (1/2)(x-d)^2/L^2}
= 2xd/L

と直ちに1次近似が得られます。これが正解で正しい求め方。

S1P と平行、たうまり tanθ = (x-d)/L で同じように計算すると
2(dx-d^2)/L
が得られますが、これは
2d(x-d)
つまり f(x) = 2dx/L とすると f(x-d) = 2d(x-d)/L

つまり、f(x) を「上に」d　だけずらした式です。

平行で交わらない縦にdだけ離れているはずの光線を
一点で交わるとして計算している弊害ですね。

早くこういういい加減な説明は忘れて、
厳密な計算を覚えましょう。

この回答へのお礼

なるほど。
ありがとうございます。

つまり、OPに平行とみなすというのは本質的ではなく、

S2PからPへの角をθ+α、S1PからPへの角をθ-βとおいて経路差を一次近似で計算すると、
S2P－S1P＝L/cos(θ+α)－L/cos(θ-β)
≒L/2{(θ+α)²－(θ-β)²}
=L/2{2(α+β)θ+(α²-β²)}
となって、仮にθをOPからみた角だとすると、
θ≒x/Lで、
(θ+α)＋(θ-β)≒(x+d)/L+(x-d)/L=２x/L
からα－βがθに対して無視できることと
(θ+α)－(θ-β)≒(x+d)/L－(x-d)/L＝2d/L
となることから
S2P－S1P＝2dx/Lになる
これが三平方で導いた結果と一致するから、
OPに平行だとみなしていい

ということですか？
(見よう見まねでやったので計算に自信はありませんが…）

お礼日時：2018/01/07 00:12

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/01/06 17:09

どのような計算でそのようになったのか示してください。

>#1さん
次元はあっていますよ。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/01/06 12:58

>2(dx±d²）/L

次元が合って無いからつまらない計算ミスを間違いなくしてます。
あなたの計算を全て示してみて下さい。