1の8乗根をもとめよ これの解説お願いします。

1の8乗根をもとめよ
これの解説お願いします。

No.4 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/04/04 21:12

ANo.3です。

>Xの二乗＝iとXの二乗＝−iのところをもう少し解説していただけませんか？

x^2=iのとき：
x=a+biとする(a,b:実数)

(a+bi)^2=i
a^2 - b^2 + 2abi=i

右辺は虚数であることから、
a^2 - b^2=0…(1)
2ab=1…(2)

となる

(2)より、
ab=1/2>0

ここで、ab>0となるための条件は、a>0,b>0またはa<0,b<0でなければならない。…(3)

(1)から、
a^2=b^2

(3)の条件から、
a=b…(4)

(4)を(2)に代入すると、
2b^2=1
b^2=1/2
b=±1/sqrt(2)

(4)よりaとbの組み合わせは
(a, b)=(1/sqrt(2), 1/sqrt(2))、または(-1/sqrt(2), -1/sqrt(2))

よって
x=(1/sqrt(2))+(1/sqrt(2))i=(1/sqrt(2))*(1+i)
または、
x=(-1/sqrt(2))+(-1/sqrt(2))i=(-1/sqrt(2))*(1+i)

==========================================================

x^2=-iのとき：
x=p+qiとする(p,q:実数)

(p+qi)^2=-i
p^2 - q^2 + 2pqi=-i

右辺は虚数であることから、
p^2 - q^2=0…(5)
2pq=-1…(6)

となる

(6)より、
pq=-1/2<0

ここで、pq<0となるための条件は、p>0,q<0またはp<0,q>0でなければならない。…(7)

(5)から、
p^2=q^2

(7)の条件から、
p=-q…(8)

(8)を(6)に代入すると、
-2q^2=-1
q^2=1/2
q=±1/sqrt(2)

(8)よりpとqの組み合わせは
(p, q)=(1/sqrt(2), -1/sqrt(2))、または(-1/sqrt(2), 1/sqrt(2))

よって
x=(1/sqrt(2))-(1/sqrt(2))i=(1/sqrt(2))*(1-i)
または、
x=(-1/sqrt(2))+(1/sqrt(2))i=(-1/sqrt(2))*(1-i)

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/04/03 02:14

1の8乗根をxとすると、

x^8=1
(x^4)^2=1
x^4=±1

x^4=1の場合…(1)
(x^2)^2=1
x^2=±1…(3)

x^4=-1の場合…(2)
(x^2)^2=-1
x^2=±i(i:虚数単位)…(4)

(3)において
x^2=1の場合
x=±1

x^2=-1の場合
x=±i

(4)において
x^2=iの場合
x=±(1/sqrt(2))*(1+i)(sqrt(2):√2)

x^2=-iの場合
x=±(1/sqrt(2))*(1-i)

以上より1の8乗根は、

1, -1, i, -i, (1/sqrt(2))*(1+i), (-1/sqrt(2))*(1+i), (1/sqrt(2))*(1-i), (-1/sqrt(2))*(1-i)

(sqrt(2):√2, i:虚数単位)
の8つが答え。

この回答へのお礼

Xの二乗＝iとXの二乗＝−iのところをもう少し解説していただけませんか？
よろしくお願いします

お礼日時：2018/04/04 16:22

No.2 回答者： 銀鱗 回答日時： 2018/04/03 02:08

根の意味を理解していないと読んだ。

同じ値を２つ掛け合わせた値に対して元の2つの値を平方根（二乗根）と言う。
　ｙ＝ｘ²
のとき、ｘはｙの平方根と言う。

三乗根は
　ｙ＝ｘ³
ｘを３つかけ合わせた値がｙというわけ。

・・・
んじゃ八乗根は？
　ｙ＝ｘ⁸
になる。
ｘが８つあるんだ。
てことで、
　１＝1×1×1×1×1×1×1×1
になる。

あと、
　（－１）×（－１）＝１
これは分かるよね。
同じ数字が偶数個ある場合はマイナスも考慮しなくちゃいけないってことだ。
試しに4個の場合、6個の場合について自身で確かめてみよう。
本当にマイナスの値を偶数個かけたらプラスの値になるかを確認するんだ。
がんばれ。
（ちなみに偶数個あって、かけ合わせた値がマイナスになる場合は虚数という物になるので、別の機会に学ぶようにしよう）

No.1 回答者： きゅびっく 回答日時： 2018/04/03 00:32

±1？