講義で、2次形式 Z = X'AX が準正定値のとき、凸関数であることを証明せよ

という課題が出たのですが、準正定値をいう単語の意味がわからず
解くことができません。検索エンジンでもそれらしいのが出てこなくて
ここに質問をすることにしました^^;

どなたか教えてください。お願いします

A 回答 (1件)

Z=X'AX (Xはn次元ベクトル、Aは対称行列、ですよネ)



この2次形式が準正定値(半正定値、ともいいます)とは
任意のXに対して X'AX>=0が成り立つことを言います。

0ベクトル以外の任意のXに対して X'AX>0が成り立つときは
正定値である、と言います。

たとえば3変数の場合
x^2+y^2+z^2 は正定値
x^2+(y-2z)^2(つまり x^2+y^2+4z^2-4yz) は準正定値 です
x^2+y^2-z^2 は正定値でも準正定値でも負定値でも準負定値でもない
2次形式です。

もし固有値を知っているなら、
Aが正定値であることと、Aのすべての固有値が正であることが同値
Aが準正定値であることと、Aのすべての固有値が0以上であることが
同値です
    • good
    • 0
この回答へのお礼

なるほど、0以上ということなんですね
証明がこれで導けました。ありがとうございます

お礼日時:2001/07/19 11:57

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Q子の氏の変更  住所地について 

調停離婚が成立し、先日、離婚届を提出しました。 
親権者は私(妻)で、子の氏の変更をします。

結婚生活はA県A市、離婚後はB県B市に住みます。
調停はB市で行われ、成立の際、家裁の方から「子の氏の変更は、A市の家庭裁判所で
申立てをしてください」と言われました。

先日、A市の市役所(本籍地)に離婚届を出したのですが、役所の方から
「子の氏の変更はB市の家庭裁判所で申立てをしてください」と言われ、混乱しています。

子の氏の変更の申立先は「子の住所地の家庭裁判所」ですよね?
この住所地というのは、これから住むところの住所B市でしょうか?
それとも、子供は現在まだ夫の戸籍に入っているので、夫の住所A市でしょうか?

月曜日に家裁に問い合わせればいいのですが、気になるので教えていただければ
嬉しいです。 よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 離婚後新戸籍を何処に作成したか、A市、B市です。(此処に新戸籍作成完了)子どもはA市の旦那(前夫戸籍に有る)A市が所轄家裁と言う判断から
A市担当家庭裁判所に子どもの氏変更(審判)出します。
 家裁から貰う、氏変更確定書を離婚後作成したご自身の戸籍へ入籍届けを出す。
 今は前夫戸籍に子どもが有るのを、子ども(氏変更後)は親権者の戸籍へ入籍される。
 最後は離婚後作った新戸籍のA・Bかその他かその本籍地へ出す事になります。
 子の氏変更は戸籍法77条の2を出しか関係と思います。

参考URL:http://www.toku-rikon.com/uwaki/uwaki18.html

Q半正定値と凸の関係

2次関数
  f(x)=cT・x+xT・Q・x (x∊Rn)
  Tは転置
において、c∊Rn、Q:n×n実対称行列とするとき、
「Qが半正定値であるときに限り凸関数となる」とあるのですが、理由がよく分かりません。
Qの要素が負であっても、上に凸になるのではないのですか?

Aベストアンサー

その通り。Qの要素に負でないものがあっても、凸関数になる場合はあります。
「Qが半正定値」であることの定義は、
任意のxについて
x^T Q x ≧0
となることであって、そのことは
Qの要素の正負とは関係ありません。
例:Q=
1 -1
-1 1
は、(x y)^T Q (x y)= x^2 -2 xy +y^2 = (x-y)^2≧0だから、Qは半正定値であり、この2次形式は凸関数になっています。

Q子の氏の変更について

子の氏の変更は短期間で届けを出した場合却下されますか?
最初に一回変更して短期間で届けを出した場合です。却下されますか?

Aベストアンサー

●短期間で届けを出した場合却下されますか?
○質問者さんのケースだとありえます。

 子の氏の変更 2013/02/16
 http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7948444.html

 名の変更について 2012/11/03
 http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7948444.html

「清野」で「せーの」とからかわれるのが嫌だと(1)「木村」にし、
「木村拓哉」と同姓同名になってしまったが嫌で(2)「清野」にし、
何故かまた(3)「木村」にしてやっぱり「清野」にしたい、
ではきりがありません。
過去の質問文からすれば(3)はここ半年以内の話ですよね?

質問者さんに必要なのは「氏の変更」ではないように思われます。

Qx+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

 ★x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

この問題について説明をお願いします。

Aベストアンサー

おおざっぱな説明になりますが、左の式を
z=-x-y
として、それを右の式のzに代入します。
それを展開してまとめると
x^2-2xy+y^2=0
という式になります。
あとはこれを因数分解すれば
(x-y)^2=0
となるので、x=yという答えがでます。
与えられた条件がほかになければこれでいいはずです。

Q離婚し、転居がその1週間後になるのですが、子の氏の変更手続き

悩んでいます。アドバイスお願いいたします。
離婚をすることになり、賃貸を契約したのですが、済むことができるのが1週間後になります。
その際、離婚届と一緒に転出届を提出すると、転入届けを出すまでの戸籍はどこになるのでしょうか?
子の氏の変更をするときに、戸籍謄本が必要となるので、どうなるかが気がかりで悩んでいます。
住んでもいないのに、届けは出せないし、今の主人と同じ住所で子の氏の変更をすればいいのでしょうか?よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

 こんばんは。以前戸籍事務をしていましたので、書かせていただきます。

>離婚をすることになり、賃貸を契約したのですが、住むことができるのが1週間後になります。その際、離婚届と一緒に転出届を提出すると、転入届けを出すまでの戸籍はどこになるのでしょうか?

 まず、転出届をしても戸籍の移動はありません。あくまでも離婚届によって、貴方だけが戸籍が移動します。つまり、転入届の時点では、既に離婚届によってあなたについては戸籍は移動しています。
 ちみに、離婚届や転出・転入届では、お子さんについては戸籍の移動はありませんので、ご主人の戸籍に残ったままになります。

 離婚届で、貴方は戸籍に関して、次の三つの選択が出来ます。
1 両親の戸籍に戻って、旧姓になる。
2 自分だけの新しい戸籍を作って、旧姓になる。
3 自分だけの新しい戸籍を作って、姓は変えない。(この場合は、戸籍法77-2の届を同時に提出する必要があります。)
 「1」の場合は、当然、本籍地は両親と同じになります。「2」「3」の場合は、離婚届に書かれた「新しい本籍地」の住所に戸籍が出来ます。これは日本全国どこでも置けます。極端に言えば、富士山の頂上に置かれてもいいんです。

>子の氏の変更をするときに、戸籍謄本が必要となるので、どうなるかが気がかりで悩んでいます。

 お子さんをあなたの戸籍に入籍される場合は、上記の「2」「3」のいずれかを選んでください。
 そして家庭裁判所でお子さんの氏の変更を申請し、許可が出ればそれを持って、役所(貴方の住所地か本籍地の役所です)で貴方の戸籍への入籍届をしてください。

>住んでもいないのに、届けは出せないし、今の主人と同じ住所で子の氏の変更をすればいいのでしょうか?

 戸籍と住民票の地名は別の物と考えてください。住所は住んでいるところにしか置けませんが、本籍はどこへでも置けます。「今の主人と同じ住所で子の氏の変更」をされるのは、一向に構いません。
 ただ、家庭裁判所の処理件数などにもよりますが、1週間では氏の変更の許可は下りないと思われますから、結局は引越し後に入籍届をされることになると思います。

 補足が必要でしたらどうぞ。

 こんばんは。以前戸籍事務をしていましたので、書かせていただきます。

>離婚をすることになり、賃貸を契約したのですが、住むことができるのが1週間後になります。その際、離婚届と一緒に転出届を提出すると、転入届けを出すまでの戸籍はどこになるのでしょうか?

 まず、転出届をしても戸籍の移動はありません。あくまでも離婚届によって、貴方だけが戸籍が移動します。つまり、転入届の時点では、既に離婚届によってあなたについては戸籍は移動しています。
 ちみに、離婚届や転出・転入届では、お...続きを読む

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

Q子の氏変更許可について

離婚と同時に、母親は、結婚時の氏を使用する届けをだしたのですが、子供は、今までの氏を名乗り、母親の戸籍に移るには、家庭裁判所で『子の氏変更許可の申し立て』をしてから、役場で『入籍届』を提出するんでしょうか?

Aベストアンサー

 こんにちは。以前、戸籍の仕事をしていましたので、たいていの事はお答えできると思います。

 今回のケースは、お考えのとおりです。

 貴方は、婚姻の際に夫の氏を名乗られているようですから、戸籍の筆頭者は夫になっていたと思います。
 この場合、離婚されると、貴方だけがその戸籍から抜けて、元の戸籍(ご両親の戸籍ですね)に戻るか、新しい戸籍を作るかの選択が出来ます。さらに、新しい戸籍を作る場合は、旧姓を名乗る事も、婚姻時の姓を名乗る事も選択できます。
 以上のとおり、離婚により戸籍の移動があるのは、あなただけです。

 今回のケースで、お子さんを貴方の戸籍に移動させるには、家庭裁判所の許可が必要になります。許可が下りれば、その許可証を添付して戸籍担当部署に貴方の戸籍にお子さんを入籍する届け、つまり「入籍届」を提出してください。

(おまけ)
 お子さんが父母の戸籍に移動する際に、家庭裁判所の許可が要らないケースもあります。両親が婚姻中の場合です。
 例えば、ご両親がどなたかと養子縁組されると、氏が変わり新しい戸籍が作られそこに入籍されますが、お子さんは前の戸籍に残ったままになります。この場合、お子さんをご両親の戸籍に移動させる場合は、家庭裁判所の許可は不要で、「入籍届」だけで出来ます。

 補足が必要でしたら、何なりとどうぞ。

 こんにちは。以前、戸籍の仕事をしていましたので、たいていの事はお答えできると思います。

 今回のケースは、お考えのとおりです。

 貴方は、婚姻の際に夫の氏を名乗られているようですから、戸籍の筆頭者は夫になっていたと思います。
 この場合、離婚されると、貴方だけがその戸籍から抜けて、元の戸籍(ご両親の戸籍ですね)に戻るか、新しい戸籍を作るかの選択が出来ます。さらに、新しい戸籍を作る場合は、旧姓を名乗る事も、婚姻時の姓を名乗る事も選択できます。
 以上のとおり、離婚により...続きを読む

Q非対称行列の固有値と正定値性について

画像にあるように、非対称な行列について質問があります。

ある英語の本の問題で、画像に書いてある行列について以下のような問があります。
Is the matrix positive definite?
(これは正定値行列ですか?)

正定値行列がわからなかったので、調べたのですが、普通は対称行列に対して求めるもので、非対称な行列に対してそもそも取り扱われていないようでした。

また、正定値行列は固有値が全て正であるとのことだったのですが、この行列の固有値を求めたところ、複素数が出てきました。

これって正定値行列かどうか、判定することができるのでしょうか?

Aベストアンサー

No.3のエルミート行列の下りは間違い

nを2以上の整数とし
Aをn次エルミート行列とし
xをn次複素列ベクトルとする
(任意の行列XについてX^*をXの複素共役転置とする)
零ベクトルでない任意のxについて
S=x^*・A・x
が正であるときAを正値であるという
Aが正値⇄Aの実数部行列が正値
は成り立たない
従ってエルミート行列の正値性は対称行列の正値性の拡張として意味がある

従って修正版としては後半を除いて以下の通り

nを2以上の整数とし
Aをn次実行列とし
xをn次実列ベクトルとする
(任意の行列XについてX^TをXの転置とする)
零ベクトルでない任意のxについて
S=x^T・A・x
が正であるときAを正値であるという
S=S^Tなので
S=(S+S^T)/2=x^T・(A+A^T)・x/2
であるから
Aが正値⇄(A+A^T)/2が正値
M=(A+A^T)/2
は実対称行列であるから
行列が正値であるかどうかを判定するには
その行列を対称化した行列により判定すればよい
(行列Aの対称化行列とは(A+A^T)/2のことである)
従って実非対称正方行列の正値性は
実対称行列の正値性の拡張としてあまり役に立たない

今回の場合
√2・M=√2・(A+A^T)/2=
[1 0]
[0 1]
でありMの固有値は1/√2であり正であるから
与行列は正値である

No.3のエルミート行列の下りは間違い

nを2以上の整数とし
Aをn次エルミート行列とし
xをn次複素列ベクトルとする
(任意の行列XについてX^*をXの複素共役転置とする)
零ベクトルでない任意のxについて
S=x^*・A・x
が正であるときAを正値であるという
Aが正値⇄Aの実数部行列が正値
は成り立たない
従ってエルミート行列の正値性は対称行列の正値性の拡張として意味がある

従って修正版としては後半を除いて以下の通り

nを2以上の整数とし
Aをn次実行列とし
xをn次実列ベクトルとする
(任意の行列XについてX^TをX...続きを読む

Q子の氏の変更について。

民法791条1項
『子が父又は母と氏を異にする場合には、子は、家庭裁判所の許可を得て、戸籍法 の定めるところにより届け出ることによって、その父又は母の氏を称することができる。』

とあり、戸籍法18条2項とのからみで、

『非嫡出子の氏は母の氏を称します。
子が父の氏と別の場合、認知により父子関係が確認された場合には家庭裁判所の許可を得て父の氏を称し、父の戸籍に入る事が出来ます。』

と書いてあるのを見ました。

現在、一人の息子を持つシングルマザーです。
子供は、認知してもらっています。
子の父は妻帯者ですが、離婚裁判中です。
裁判がまだ継続中で、いつ終わるかも見当付きません。
ですが、離婚が成立次第、入籍するつもりです。
なので子供が集団生活に入る前に子の氏を子の父の性にしたいのです。

この場合、上記の民法791条を行使し、子供の性を現在の私の性から子の父の性にする事はできるのでしょうか?

家庭裁判所の許可を得る手続きは難しいものですか?
許可を得るのに何日もかかりますか?
具体的な手続き方法はどのような物でしょうか?

Aベストアンサー

> この場合、上記の民法791条を行使し、子供の性を現在の私の性から子の父の性にする事はできるのでしょうか?

家庭裁判所の許可があればできますよ。
ただし、許可が出るかどうかはわからない。過去の例を見ても許可される場合と、許可されない場合がある。その辺の判断は状況によるとしか言いようがない。
例えば子の年齢が6か月とかよりも、幼稚園や小学校に入学するときのほうが認められやすい。また父の妻や親族の反対があれば難しくなる。さらに、子が父と同居していれば許可が下りやすいだろうし、別居だと難しくなる。

具体的な手続き方法は
http://www.courts.go.jp/saiban/syurui_kazi/kazi_06_07/index.html
これを見ればわかる。

Q正定値行列は正則行列

らしいのですが、証明法が思いつきません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

NO.1です。
>行列式がその固有値の積となる
がわかりませんでした。
とのことですが、
行列Aは適当な行列Pを取るとP^{-1}APがジョルダン標準形に変形することが出来ます。Det(P^{-1}AP)=DetAであり、Det{P^{-1}AP)は対角成分をかけたものであり、対角成分はAの固有値と一致します。


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