講義で、2次形式 Z = X'AX が準正定値のとき、凸関数であることを証明せよ

という課題が出たのですが、準正定値をいう単語の意味がわからず
解くことができません。検索エンジンでもそれらしいのが出てこなくて
ここに質問をすることにしました^^;

どなたか教えてください。お願いします

A 回答 (1件)

Z=X'AX (Xはn次元ベクトル、Aは対称行列、ですよネ)



この2次形式が準正定値(半正定値、ともいいます)とは
任意のXに対して X'AX>=0が成り立つことを言います。

0ベクトル以外の任意のXに対して X'AX>0が成り立つときは
正定値である、と言います。

たとえば3変数の場合
x^2+y^2+z^2 は正定値
x^2+(y-2z)^2(つまり x^2+y^2+4z^2-4yz) は準正定値 です
x^2+y^2-z^2 は正定値でも準正定値でも負定値でも準負定値でもない
2次形式です。

もし固有値を知っているなら、
Aが正定値であることと、Aのすべての固有値が正であることが同値
Aが準正定値であることと、Aのすべての固有値が0以上であることが
同値です
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この回答へのお礼

なるほど、0以上ということなんですね
証明がこれで導けました。ありがとうございます

お礼日時:2001/07/19 11:57

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Q半正定値と凸の関係

2次関数
  f(x)=cT・x+xT・Q・x (x∊Rn)
  Tは転置
において、c∊Rn、Q:n×n実対称行列とするとき、
「Qが半正定値であるときに限り凸関数となる」とあるのですが、理由がよく分かりません。
Qの要素が負であっても、上に凸になるのではないのですか?

Aベストアンサー

その通り。Qの要素に負でないものがあっても、凸関数になる場合はあります。
「Qが半正定値」であることの定義は、
任意のxについて
x^T Q x ≧0
となることであって、そのことは
Qの要素の正負とは関係ありません。
例:Q=
1 -1
-1 1
は、(x y)^T Q (x y)= x^2 -2 xy +y^2 = (x-y)^2≧0だから、Qは半正定値であり、この2次形式は凸関数になっています。

Qx+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

 ★x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

この問題について説明をお願いします。

Aベストアンサー

おおざっぱな説明になりますが、左の式を
z=-x-y
として、それを右の式のzに代入します。
それを展開してまとめると
x^2-2xy+y^2=0
という式になります。
あとはこれを因数分解すれば
(x-y)^2=0
となるので、x=yという答えがでます。
与えられた条件がほかになければこれでいいはずです。

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

Q非対称行列の固有値と正定値性について

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これって正定値行列かどうか、判定することができるのでしょうか?

Aベストアンサー

No.3のエルミート行列の下りは間違い

nを2以上の整数とし
Aをn次エルミート行列とし
xをn次複素列ベクトルとする
(任意の行列XについてX^*をXの複素共役転置とする)
零ベクトルでない任意のxについて
S=x^*・A・x
が正であるときAを正値であるという
Aが正値⇄Aの実数部行列が正値
は成り立たない
従ってエルミート行列の正値性は対称行列の正値性の拡張として意味がある

従って修正版としては後半を除いて以下の通り

nを2以上の整数とし
Aをn次実行列とし
xをn次実列ベクトルとする
(任意の行列XについてX^TをXの転置とする)
零ベクトルでない任意のxについて
S=x^T・A・x
が正であるときAを正値であるという
S=S^Tなので
S=(S+S^T)/2=x^T・(A+A^T)・x/2
であるから
Aが正値⇄(A+A^T)/2が正値
M=(A+A^T)/2
は実対称行列であるから
行列が正値であるかどうかを判定するには
その行列を対称化した行列により判定すればよい
(行列Aの対称化行列とは(A+A^T)/2のことである)
従って実非対称正方行列の正値性は
実対称行列の正値性の拡張としてあまり役に立たない

今回の場合
√2・M=√2・(A+A^T)/2=
[1 0]
[0 1]
でありMの固有値は1/√2であり正であるから
与行列は正値である

No.3のエルミート行列の下りは間違い

nを2以上の整数とし
Aをn次エルミート行列とし
xをn次複素列ベクトルとする
(任意の行列XについてX^*をXの複素共役転置とする)
零ベクトルでない任意のxについて
S=x^*・A・x
が正であるときAを正値であるという
Aが正値⇄Aの実数部行列が正値
は成り立たない
従ってエルミート行列の正値性は対称行列の正値性の拡張として意味がある

従って修正版としては後半を除いて以下の通り

nを2以上の整数とし
Aをn次実行列とし
xをn次実列ベクトルとする
(任意の行列XについてX^TをX...続きを読む

Q正定値行列は正則行列

らしいのですが、証明法が思いつきません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

NO.1です。
>行列式がその固有値の積となる
がわかりませんでした。
とのことですが、
行列Aは適当な行列Pを取るとP^{-1}APがジョルダン標準形に変形することが出来ます。Det(P^{-1}AP)=DetAであり、Det{P^{-1}AP)は対角成分をかけたものであり、対角成分はAの固有値と一致します。


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