2次形式の判定法

2次形式が正定値、半正定値、負定値、半負定値であることはどのように示せばいいのですか？
たとえば、f(x)=-x1^2+6x1x2-9x^2
とするとこの表現行列は求めました。
あと、このf(x)の符号も求めました。
これらを使って判定すると思うのですが教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#50894 回答日時： 2008/01/14 10:03

変数の表記が不統一なので、y=x1,z=x2と置き直し、

f(x,y,z)=-y^2+6yz-9x^2とします。

f(x,y,z)=t(x,y,z)Ａ(x,y,z)
A=(t(-9,0,3),t(0,1,0),t(3,0,0))
［“t”は転置を表す］

と表す事が出来る。

3次正方行列Aの固有値は、大きい順に、正、0、負
従って、正定値、半正定値、負定値、半負定値のいずれでもない。

上の表現法で
Aは正定値⇔Aの固有値が全て正
Aは負定値⇔Aの固有値が全て負
半正定値：（非負値と同義でしょうね。）⇔Aの固有値は0または正
半負定値：（非正値と同義でしょうね。）⇔Aの固有値は0または負

この回答へのお礼

このように定義されてるのですね。わかりました！
ありがとうございました。

お礼日時：2008/01/14 22:55