この解き方を教えてください！ log10 2=0.3010 とする。 5^40は何桁の数か

この解き方を教えてください！

log10 2=0.3010 とする。
5^40は何桁の数か

No.1 ベストアンサー 回答者： takoハ 回答日時： 2018/05/05 23:31

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/q-and-a/sisuu- …

5^40 の常用対数をとれば
log(10)5^40=log(10/2)^40=40｛ log(10)10ーlog(10)2 ｝=40(1ーlog(10)2 ｝
=40(1ー0.3010)=27.98=log(10)10^27.98
よって、
10^27.98＜5^40 ＜10^28
故に、桁数は、28桁！

この回答へのお礼

そんな手が...！ありがとうございます！！！

お礼日時：2018/05/05 23:33

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/05/05 23:33

10 を「底」にした対数を「log[10](X) 」と表すと

「10」は2桁で、log[10](10) = 1
「100」は3桁で、log[10](100) = 2
「1000」は4桁で、log[10](1000) = 3

「50」は2桁で、log[10](50) = log[10](5) + 1
「500」は3桁で、log[10](100) = log[10](5) + 2
「5000」は4桁で、log[10](1000) = log[10](5) + 3

「99」は2桁で、log[10](99) = log[10](9.9) + 1
「999」は3桁で、log[10](999) = log[10](9.99) + 2
「9999」は4桁で、log[10](9999) = log[10](9.999) + 3

ここで、0 < log[10](5) < 1、0 < log[10](9.999･･･) < 1 ですから、上の考察から言えることは
・10 を底にした対数の「整数部分」に１を加えたものが、もとの数の桁数
ということになりそうですね。まあ、それが「10進数」ということです。

これを使えば
・もとの数： 5^40
・この10 を底にした対数：
　log[10](5^40)
= 40 × log[10](5)
= 40 × log[10](10/2)
= 40 × { log[10](10) - log[10](2) }
≒ 40 × { 1 - 0.3010 }
= 40 × 0.6990
= 27.96

・この整数部分「27」に１を加えたものが、もとの数の桁数なので
　　27 + 1 = 28
・よって、もとの数は「28桁」である。