数2 写真の問題で、x=√2になることまでわかるんですが、なぜこの時に最小値が14√2になるんですか

数2
写真の問題で、x=√2になることまでわかるんですが、なぜこの時に最小値が14√2になるんですか？
相加平均と相乗平均の大小関係で、右辺が最小値になるっていう決まりなんですか？
教えてください！

No.2 ベストアンサー 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/05/14 12:08

a>0, b>0 のとき

(a+b)/2-√ab={(√a)²-2√a√b+(√b)²}/2
=(√a-√b)²/2≧0
となり、
(a+b)/2≧√ab
※ a b の相加平均≧相乗平均
この時、等号成立条件は
√a-√b=0
即ち
a=b
となるのが相加平均・相乗平均の関係の定理です。

ここで、a=14x, b=28/x を代入すると
√ab=14√2
となって x が消え、定数となります。つまり、これが左辺の最小値です。等号成立条件は
a=b=14√2
ですから、この時
x=√2
で、最小値は
14√2
となる理屈です。

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2018/05/14 14:04

大小関係は、例えば A≧B ならAーB =( )^2 を示せばいい！ただし、A ,B ＞0のとき

これを利用したのが、相加相乗平均である！だから、決まりというよりも、基本の
大小関係を利用しているだけです！

No.1 回答者： jtpgmwta 回答日時： 2018/05/14 00:44

等号成立すると言っているのだから

7x+14/x=14√2
x^2-2√2x+2=0
(x-√2)^2=0
x=√2ですね