数学（確率：ベイズの定理）の問題の解き方を教えてください。

私の甥（18歳）から、次の問題を質問されましたが。よくわかりません。数学が得意な方教えてください。
問題：「2個の黒玉と3個の赤玉が入っている壺がある。この中から無作為に1個の玉を取り出し、それに同色の玉を3個つけ加えて壺に玉を戻す。こうしてまた壺の中から1個の玉を無作為に取り出すとする。このとき、2回目に黒玉を取り出す確率を求めよ。ただし。ベイズの定理を踏まえること。」
　※　急いでいますので、よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/05/30 20:19

問題：「2個の黒玉と3個の赤玉が入っている壺がある。

この中から無作為に1個の玉を取り出し、それに同色の玉を3個つけ加えて壺に玉を戻す。こうしてまた壺の中から1個の玉を無作為に取り出すとする。このとき、2回目に黒玉を取り出す確率を求めよ。ただし。ベイズの定理を踏まえること。
１、玉を2回取り出す経過を一覧表にすると図になる。
①から⑪は各欄の説明である。(この問題では、ベイズの定理は関係ない。)
①一回目には2個の黒、3個の赤が入っているので、玉が出る確率は黒2/5、赤3/5である。
②一回目に黒が出た時、黒玉は5個に増えるので、
④⑤2回目のツボの中は5個の黒、3個の赤が入っているので、玉が出る確率は黒5/8、赤3/8である。
③一回目に赤が出た時、赤玉は6個に増えるので、
⑥⑦2回目のツボの中は2個の黒、6個の赤が入っているので、玉が出る確率は黒2/8、赤6/8である。
⑧~⑪は、この経過により2回目にそれぞれ黒、赤が出る確率である。
このうち、2回目に黒が出るのは、⑧と⑩だから、
2回目に黒が出る確率は5/20+3/20=8/20=2/5である。
２、
この実験が終わって、あなたは途中経過を知らないとする。
2回目に出た玉は黒だったと知らされて、1回目は何色が出たと思うか、黒だった確率を求めよ。
と問題を変えます。
このときの計算方法をベイズの事後確率の定理という。表の⑧から⑪のうち、2回目に赤が出た⑨⑪は現実にはなかったことだから、表から除去し、⑧⑩だけから計算します。
⑧は1回目に黒が出た、⑩は1回目に赤が出たので、
1回目に黒が出た確率は⑧/(⑧+⑩)により計算する。
求める確率は
⑧/(⑧+⑩)=(5/20)/(5/20+2/20)=5/7
となる。
結論として、２番目のベイズの定理を含めて解説するのがよいのではないか。

この回答へのお礼

表で説明して頂き、ありがとうございました。私にもよくわかる説明で助かりました。

お礼日時：2018/05/30 21:17

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/05/25 12:47

ベイズの定理ってあまりにもあたり前だからね~。

ANO2さんの回答も事後確率を確率に直すのに使ってると言えないこともない。

この回答へのお礼

はじめは、ベイズの定理ということ言葉に「？」という状態でしたが、みなさんのおかげで、少しずつわかってきました。ありがとうございました。

お礼日時：2018/05/25 13:01

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2018/05/23 15:29

1個目に取り出したのが黒である確率は

　　P(1個目が黒)=2/5
であり、
　　P(1個目が黒でない) = 1-P(1個目が黒)
もし1個目が黒だったら壷の中身は黒5個赤3個になるんで、2度目に取り出したのが黒である確率は
　　P(2個目が黒|1個目が黒) = 5/8
もし1個目が赤だったら壷の中身は黒2個赤6個になるんで、2度目に取り出したのが黒である確率は
　　P(2個目が黒|1個目が黒でない) = 2/8
だから、
　　P(2個目が黒) = P(2個目が黒|1個目が黒)P(1個目が黒) + P(2個目が黒でない|1個目が黒)P(1個目が黒でない)

　ベイズの定理
　　P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)
を踏まえろったってそんなの全く出番がない。そこで「ベイズの定理」と書いた紙切れを足で踏んづけておくことにしてはどうか。

この回答へのお礼

すばやい返信ありがとうございます。
「(2個目が黒) = P(2個目が黒|1個目が黒)P(1個目が黒) + P(2個目が黒でない|1個目が黒)P(1個目が黒でない) 」の部分を具体的に計算すると、具体的にどうなりますか？教えてくさい。よろしくお願いします。

お礼日時：2018/05/23 16:23

No.1 回答者： takoハ 回答日時： 2018/05/23 15:25

1回目が黒の場合は、2/5

2回目は、黒が2個増えるので、黒は2+2=4個となるから、4/7
よって、2/5・4/7 =8/35
一方
1回目が白の場合は、3/5
2回目は、白が2個増えるので、白は3+2=5個となる。
よって、3/5・2/7 =6/35
どちらも独立しおているので、(8+6)/35=14/35=2/5

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。ベイズの定理という言葉を知らなかったので、助かりました。

お礼日時：2018/05/25 12:58