数学について。

ランダウの記号の動画は、本当なのでしょうか？教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが、類題
をつくっていただけると幸いなのですが。

ご教授願います。

質問者からの補足コメント

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  もう少し詳しく教えていただけないでしょうか？大変恐縮ですが。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/06/29 10:04

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  ランダウ記号の諸性質についても、類題を作っていただけないでしょうか？
  教えていただけると幸いです。
  

    補足日時：2018/06/29 10:06

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  大変迅速な回答ありがとうございます。

    補足日時：2018/06/29 10:07

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  もう少し詳しく教えていただければと思います。大変恐縮ですが。

    補足日時：2018/06/30 20:33

No.4 回答者： afilter 回答日時： 2018/06/30 15:45

訂正です。

o(x)はxより小さい同程度の大きさ　　→　o(x)はxより小さい程度の大きさ

No.3 回答者： afilter 回答日時： 2018/06/30 15:24

度々、済みません。

ｘ→∞　の場合しか説明していていないように見えます。しかも、xが自然数。微積分の場合は、ｘ→0の場合が重要となります。ｘ→∞　の場合は普通おまけ程度の説明しかしないと思いますよ。
また、
o(x)（xより小さい同程度の大きさ）は出てこないんですか。これは、或る意味O(x)より、重要です。
例えば、f(x)がx=aで微分可能な場合、

f(a+h)=f(a)+f’(a)h+o(h) (h→0)

のような、非常に重要な関係があります。この場合のo(h)をOで表現することはできません。f(x)が第２次導関数をもてば、o(h)をO(h^2)に置き換えることはできますが、これでは、fに対する条件が厳しすぎます。

No.2 回答者： afilter 回答日時： 2018/06/30 07:25

さらに、例を挙げておきましょう。

x→0のとき、
x^mO(x^n)=O(x^(m+n)) 　O(x^m)O(x^n)=O(x^(m+n))
O(x)±O(x)=O(x)
O(x^m)±O(x^n)=O(x^m) (ただしm≦n)
x^n+O(x^n)=O(x^n)

x(1+ x +O(x^2))-(1-2x+O(x^2))=-1+3x+x^2+xO(x^2)-O(x^2)
=-1+3x+x^2-O(x^2)= -1+3x+O(x^2)

(1+2x-x^2+o(x^2))(2+x+o(x))=2+5x-x^3+2o(x^2)+o(x)+o(x)o(x^2)
=2+5x-x^3+ o(x)=2+5x+o(x)

No.1 回答者： afilter 回答日時： 2018/06/28 23:08

すごい授業ですね。

進み方が遅すぎて苦痛です。初めの数分しか見てないんですが。
ランダウの記号で一番気を付けなければならないのは、O(x)、o(x)の２種類あることです。
O(x)はxと同程度以下の大きさ、
o(x)はxより小さい同程度の大きさ
を表します。大きさの比較ですから、xは正でも負でも構いません。
例を挙げましょう。
x→0のとき、sin(x)=O(x) -sin(x)=O(x) 　２sin(x)=O(x)　 sin(x)-x=O(x^3)
であり、sin(x)-x=o(x^2) sin(x)-x=o(x)
でもあります。上記の例からお分かりでしょうが、2O(x)=O(x) O(2x)=O(x)
となります。したがって、sin(２x)=O(x)となります。