No.1ベストアンサー
- 回答日時:
「完全弾性衝突」とすると、衝突後の「槌」をどのように扱うのか、問題の設定がよく分からない問題です。
質問者さんの疑問も、そこに発しているのでしょうか。
結果としては、問題文の「くいと槌は完全弾性衝突をするものとし」というのが間違いで、「くいと槌は非弾性衝突をして、衝突後は一体で動く」という条件にしないと、解答とは一致しません。つまり「問題文がおかしい」ということです。
とりあえずは、「問題文で与えられたとおり」に解いてみます。
「空気の抵抗がない」条件だと思いますので、槌の位置エネルギーが運動エネルギーに変わります。
その槌の「運動量」が、「槌と杭」の運動量になります。(運動量保存)
完全弾性衝突であれば、衝突前の「槌の運動エネルギー」が、衝突後の「槌の運動エネルギーと杭の運動エネルギーの和」として保存されます。
そのときの「くいの運動エネルギー + 杭の位置エネルギー」が、杭の摩擦力による「仕事」に変わって停止します。
杭の摩擦力による「仕事」は「力 × 距離」です。
大まかな流れはこんなものですが、問題になるのは「衝突後の槌がどうなるのか」ということです。
完全弾性衝突ですから、槌と杭の衝突直後には、槌と杭は離れます。そのとき
(A)このまま「杭」だけで完結してエネルギー収支で力の大きさを求める
あるいは
(B)「杭」が地面との摩擦で速さが遅くなるので、再び「槌」が追い付いて「杭」を押すと考える
問題には、どちらで考えるのかの条件が提示されていません。常識的には(B)なのですが、そのときには「再衝突の際に、槌のエネルギーのどれだけが杭に渡されるのか」という条件が必須です。
何も条件がなければ、最初の衝突と同様「完全弾性衝突」と考えるのが妥当で、その場合には結果的に「槌の全エネルギーが杭に渡される」ことになります。
ここでは (B) はこれで試算してみます。
(A) 衝突後は「杭」だけで考えた場合
(1) 杭との衝突位置を基準にした最初の槌の位置エネルギー
m1*gh = 600[kg] * 9.8[m/s^2] * 3[m] = 17640 (kg・m^2/s^2) ①
(2) 杭と衝突するときの速さを v1 として、運動エネルギーは
(1/2)m1*(v1)^2 ②
これが①に等しいので
(1/2)m1*(v1)^2 = m1*gh
よって
v1 = √(2gh) ≒ 7.67 [m/s] ③
(3) 衝突後の槌の速さを v1'、杭の速さを v2 としたとき、運動量保存より
m1*v1 = m1*v1' + m2*v2 ④
これが「完全弾性衝突」なので、
v1 = v2 - v1'
→ v1' = v2 - v1
これを④に入れて
m1*v1 = m1*(v2 - v1) + m2*v2
→ v2 = 2m1*v1/(m1 + m2) = 2*600*v1/800 = (3/2)√(2gh) ≒ 11.50 [m/s] ⑤
(4) 衝突後の杭の運動エネルギー
(1/2)m2*(v2)^2 = (1/2) * 200 * (9/4)*2gh = 450gh = 13230 [N・m] ⑥
(5) 静止位置に対する杭の位置エネルギー
m2*g*0.15 = 200[kg] * 9.8[m/s^2] * 0.15[m] = 294 [N・m] ⑦
(6) 杭に対する仕事:F * 0.15 ⑧
(7) ⑥⑦の和と⑧が等しいので
F * 0.15 = 13230 + 294 = 13524
F = 13524/0.15
= 90160 [N]
≒ 90.2 [kN]
(B) 槌の運動エネルギー + 槌の位置エネルギーがすべてが杭に渡されると考えた場合
この場合には、静止位置に対する最初の槌の位置エネルギー、杭の位置エネルギーのすべてが、杭に対する仕事「F * 0.15 」になったと考えます。
(1) 最初の槌の位置エネルギー
m1*g*(h + 0.15) = 600[kg] * 9.8[m/s^2] * 3.15[m] = 18522 [N・m]
(2) 杭の位置エネルギー
m2*g*0.15 = 200[kg] * 9.8[m/s^2] * 0.15[m] = 294 [N・m]
(3) これが、摩擦力 F [N] で 0.15 [m] 進む仕事に等しいので
F * 0.15 = 18522 + 294 = 18816 [N・m]
従って
F = 18816/0.15 = 125440 [N] ≒ 125 [kN]
以上だと、(A)(B) ともお示しの解答とは一致しません。
(C) いっそのこと、問題文にある「完全弾性衝突」を放棄して、「衝突後は槌と杭が一体で動く」と仮定すると、運動量保存より
m1*v1 = (m1 + m2)*v2
よって
v2 = [ m1/(m1 + m2) ]v1
③を使って
v2 = [ 600/(600 + 200) ]*√(2gh) = (3/4)√(2gh) ≒ 5.75 [m/s]
これを使えば、衝突後の「槌と杭」の運動エネルギーは、
(1/2)(m1 + m2)(v2)^2 = (1/2)(600 + 200) *(9/16) *2gh = 13230 [N・m] ⑨
静止位置に対する位置エネルギーは
(m1 + m2) * g * 0.15 = 800[kg] * 9.8[m/s] * 0.15[m] = 1176 [N・m] ⑩
⑨⑩の和と⑧が等しいので
F * 0.15 = 13230 + 1176 = 14406
F = 14406/0.15
= 96040 [N]
≒ 96.0 [kN]
どうやら、お示しの解答に示されているのはこれらしいですね。(小数以下第1位が違っているのは、計算過程のどこかで数値の丸め方の違いでしょう)
ということは、問題文の「くいと槌は完全弾性衝突をするものとし」というのは間違いで、「くいと槌は非弾性衝突をして、衝突後は一体で動くものとする」ということです。
「問題文の間違い」あるいは「質問者さんの、問題文の書き写し間違い」のどちらかだと思います。
(b) この問題は、「力積は、運動量の変化に等しい」ということを利用して解きます。
試しに「(A) 衝突後は「杭」だけで考えた場合」でやってみると、
(A) 衝突後は「杭」だけで考えた場合
「運動量の変化」の方は、杭の衝突直後の杭の運動量が
m2*v2 = 200[kg] * 11.5[m/s] = 2300 [kg・m/s]
なので、これが静止してゼロになることから
F*Δt = 2300 - 0 = 2300[kg・m/s] = 2300 [N・s]
力を解答どおりの 96.1 [kN] とすれば
Δt = 2300/(96.1*10^3) ≒ 29.3 * 10^(-3) [s]
となって、案の定、お示しの解答と配置しません。
ここでも(C) の非弾性衝突で「槌と杭が一体動く」とすれば、その運動量は
m1*v1 = (m1 + m2)v2 = (600 + 200 [kg]) * 5.75 [m/s] = 4600[kg・m/s]
なので、これが静止してゼロになることから
F*Δt = 4600 - 0 = 4600[kg・m/s] = 4600 [N・s]
力を解答どおりの 96.1 [kN] とすれば
Δt = 4600/(96.1*10^3) ≒ 47.9 * 10^(-3) [s] = 47.9 [ms]
でお示しの解答と一致します。
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