等加速度運動の変位の公式でなぜ1/2a t^になるのはなぜか教えてくださいaは加速度tは時間です

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質問者：ウルトラニャン
質問日時：2020/07/09 16:45
回答数：6件

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No.6

回答者： puyo3155
回答日時：2020/07/14 08:47

等速運動の場合

距離（変位）＝　速度　＊　時間　

ですね。等加速度運動の場合、速度が変わっていくので、この式は直接使えませんが、ある速度になった時間の前後ならば、その間速度が一定とみなせて

距離（変位）＝　速度　＊　時間
　　　　　　＝　at * 時間

になります。実際は速度は変わっていくので、速度が変わるごとに、この計算をして、全部を足すと、距離（変位）になりますね。
これはちょうど、X軸に時間、Y軸に速度をとったグラフの、下側の面積となります。三角形の面積の公式で

距離（変位）＝　底辺　＊　高さ　＊　1/2
= t ＊　at * 1/2
= 1/2 at ^2

になりますね。詳しくは、積分をしたことになります。

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No.5

回答者： achan910
回答日時：2020/07/09 21:59

図を描いてみましょう。

初速v0から、等加速度で、速度が上がっていきます。ここで、v0よりも下の(面積がv0tになる)長方形を作り、線を引きましょう。上に直角三角形ができましたね。こいつの高さが速度変位となります。ここで、傾きaで一定、t進んでいるので、a=Δv(速度変位)/t(傾きの公式)より、Δv=atになります。では、ここで、ここで等速運動ではx=vtとなることを思い出しましょう。(距離=速度×時間)これは、v-tグラフの面積と一致しています。細かいとこはいいとして、これが一般にも成り立つわけです。xを求めますと、まず、下の長方形はv0tですね。そして、上の三角形の面積も求めてあげると、Δv×t×1/2(高さ×横×1/2)より、1/2at^2となります。
よって、x=1/2at^2+v0t+x0(初期位置)となります。この1/2at^2が変位の正体となります。まあ、初速がある場合、緊密にはもっと変位多いんですがね。

と、ここまでは中学生レベルのお話。
高校数学を使ってあげると、こうなります。
v=∫adtより、v=at+C(積分定数。この場合、初速に相当するため、v0と表記する。)
x=∫vdtより、x=∫at+v0dt=1/2at^2+v0t+C(積分定数。この場合、初期位置に相当するため、x0と表記する。)　よって、さっきの式　x=1/2at^2+v0t+x0が簡単に導かれ、結論が得られます。
微積分はすごいもんです。

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No.4

回答者： angkor_h
回答日時：2020/07/09 17:40

> 等加速度運動の変位の公式でなぜ1/2a t^になるのはなぜか

1/2a t^2と言うのは移動距離の事なので、この変位とは位置のことになります。
等加速度運動と言う事は、時間により速度が一定量加算されているという事で、
v=at　で表されます。
移動距離は速度の積分なので、これを積分した結果が1/2a t^2と言う事になります。

位置の変化を微分すると速度、速度を微分すると加速度、と言う関係を覚えてください。
その逆をたどるのが積分になります。

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No.3

回答者： ShowMeHow
回答日時：2020/07/09 16:59

まあ、単純に考えると、

平均速度ｘ時間って話になって、
投下速度の場合、平均速度は[0+v(t)]/2＝at/2ですから、、、

この辺も見てみるとよいかもしれません。

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No.2

回答者： mojitto
回答日時：2020/07/09 16:58

たぶん積分使って教えてもダメですよね。

なんとか中学数学の範囲で説明すると…

小学校で習いましたが、速度と時間を使って距離が出せますね？
つまり「速度と時間の面積」が距離です。

では…
グラフに縦軸に速度、横軸に時間をとります。
等加速ということは時間に比例して速くなるので、傾きは加速度となります。
そのグラフからお好みの時間での「速度の時間の面積」すなわち三角形の面積が、距離となるのです。

公式はその三角形の面積の式を表しています。