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等加速度運動の変位の公式でなぜ1/2a t^になるのはなぜか教えてくださいaは加速度tは時間です

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A 回答 (6件)

等速運動の場合



距離(変位)= 速度 * 時間 

ですね。等加速度運動の場合、速度が変わっていくので、この式は直接使えませんが、ある速度になった時間の前後ならば、その間速度が一定とみなせて

距離(変位)= 速度 * 時間
      = at * 時間

になります。実際は速度は変わっていくので、速度が変わるごとに、この計算をして、全部を足すと、距離(変位)になりますね。
これはちょうど、X軸に時間、Y軸に速度をとったグラフの、下側の面積となります。三角形の面積の公式で


距離(変位)= 底辺 * 高さ * 1/2
= t * at * 1/2
= 1/2 at ^2

になりますね。詳しくは、積分をしたことになります。
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図を描いてみましょう。

初速v0から、等加速度で、速度が上がっていきます。ここで、v0よりも下の(面積がv0tになる)長方形を作り、線を引きましょう。上に直角三角形ができましたね。こいつの高さが速度変位となります。ここで、傾きaで一定、t進んでいるので、a=Δv(速度変位)/t(傾きの公式)より、Δv=atになります。では、ここで、ここで等速運動ではx=vtとなることを思い出しましょう。(距離=速度×時間)これは、v-tグラフの面積と一致しています。細かいとこはいいとして、これが一般にも成り立つわけです。xを求めますと、まず、下の長方形はv0tですね。そして、上の三角形の面積も求めてあげると、Δv×t×1/2(高さ×横×1/2)より、1/2at^2となります。
よって、x=1/2at^2+v0t+x0(初期位置)となります。この1/2at^2が変位の正体となります。まあ、初速がある場合、緊密にはもっと変位多いんですがね。


と、ここまでは中学生レベルのお話。
高校数学を使ってあげると、こうなります。
v=∫adtより、v=at+C(積分定数。この場合、初速に相当するため、v0と表記する。)
x=∫vdtより、x=∫at+v0dt=1/2at^2+v0t+C(積分定数。この場合、初期位置に相当するため、x0と表記する。) よって、さっきの式 x=1/2at^2+v0t+x0が簡単に導かれ、結論が得られます。
微積分はすごいもんです。
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> 等加速度運動の変位の公式でなぜ1/2a t^になるのはなぜか


1/2a t^2と言うのは移動距離の事なので、この変位とは位置のことになります。
等加速度運動と言う事は、時間により速度が一定量加算されているという事で、
v=at で表されます。
移動距離は速度の積分なので、これを積分した結果が1/2a t^2と言う事になります。

位置の変化を微分すると速度、速度を微分すると加速度、と言う関係を覚えてください。
その逆をたどるのが積分になります。
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まあ、単純に考えると、


平均速度x時間って話になって、
投下速度の場合、平均速度は[0+v(t)]/2=at/2ですから、、、

この辺も見てみるとよいかもしれません。
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たぶん積分使って教えてもダメですよね。


なんとか中学数学の範囲で説明すると…

小学校で習いましたが、速度と時間を使って距離が出せますね?
つまり「速度と時間の面積」が距離です。

では…
グラフに縦軸に速度、横軸に時間をとります。
等加速ということは時間に比例して速くなるので、傾きは加速度となります。
そのグラフからお好みの時間での「速度の時間の面積」すなわち三角形の面積が、距離となるのです。

公式はその三角形の面積の式を表しています。
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この回答へのお礼

あーグラフから公式を思いついたって感じなんでか。ありがとうございます。わかりやすかったです

お礼日時:2020/07/09 17:01

s= ∫v(t)dt 


で等加速度の時の速度v(t)=atだから、
s=∫atdt=(1/2)at²

v₀=0、s₀=0でないなら、初期条件とか加えると正しい結果が出てくる
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この回答へのお礼

勉強不足で全然わからないですけど、これから勉強して理解します!ありがとうございました

お礼日時:2020/07/09 16:55

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