曲線の下に凸または上に凸の区間の曲線上の2点を結ぶ弦と曲線との距離が最大になるのは弦と平行な接線を持

曲線の下に凸または上に凸の区間の曲線上の2点を結ぶ弦と曲線との距離が最大になるのは弦と平行な接線を持つ点である事を示して下さい。

質問者からの補足コメント

• 例図です

  
    補足日時：2018/08/11 21:27

No.1 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2018/08/12 02:14

緑の直線を新たにx'軸となるように基底の変換をすると、赤い曲線の最小値を求めれば、そこが最も離れた点になります。

新たな基底での赤い曲線の最小値は、新たな基底上で微分して0になる点です。微分して0というのは、すなわち、x'軸と平行ということです。一般的な証明は良く分かりませんが、例の図でいうとこんな感じです。

No.2 回答者： 六つ五郎 回答日時： 2018/08/12 08:07

二次関数のグラフで最大、最小値を求めるには頂点の位置、すなわち傾き0の点です。

図で分かるようにｘ軸に平行、互いの傾きは0です。
出題では直線y=2x+3 と同じ傾きの個所が互いの最大箇所です。
直線　傾きは2
曲線　y=x²　y'=2x＝2........x=1....y=1
座標(1,1) を通る傾き２の直線なので
y=ax+b に代入
1=2+b
b=-1
y=2x-1

証明は極めて不得手ですが、参考になれば幸いです。

この回答へのお礼

質問文を読んで下さい…

お礼日時：2018/08/12 14:21

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/08/12 12:57

曲線が放物線という事であれば

y=ax²(a>0)・・・①の場合
弦をｍx-y+n=0・・・②とすれば
放物線上の点(t,at²)と弦の距離ｄは
d=|mt-at²+n|/√(m²+1)で
a,m,nは定数だから
dの最大値は|mt-at²+n|・・・③の最大値に依存する。
ここで①②よりax²=ｍx+n
⇔ax²-ｍx-n=0
の解をA、B（A<B)とすると
A、Bは放物線と弦の交点のｘ座標で
ax²-ｍx-n=a(x-A)(x-B)=0と因数分解できる。
⇔at²-ｍt-n=a(t-A)(t-B)=0・・・（文字をｘからx以外に書きかえても、同じ形の等式が成り立つのは当然のこと、まして今は①でx=tとしたのだから、このtの等式が成り立つのはなおのこと）
これを踏まえて
f(t)=|-at²+mt+n|を考える
a>0だからY=-at²+mt+n＝-a(t-A)(t-B)は上に凸の放物線で
ｔ＝A,BでY軸と共有点を持つ
→今回考える区間はA≦ｔ≦Bであるから、この区間では
f(t)=-at²+mt+n
このf(t)がこの区間で最大となるのは
f'(t)=0のとき（頂点）で
f'(t)=-2at+m=0より
t=m/2aのとき
放物線①上で(x=)t=m/2aとなる点の接線の傾きは
y'=2axより
2at=2am/2a=m
よってf(t)が最大となるとき、弦と放物線上の点で距離が最大である点における接線の傾きは、弦を表す線分の傾きと一致する
すなわち
曲線の下に凸の区間の曲線上の2点を結ぶ弦と曲線との距離が最大になるのは弦と平行な接線を持つ点である

以上は考え方で厳密な証明ではありませんが、これに沿って正しく記述すると良さそうです。

なお、これを平行移動すれば下に凸の場合は全て網羅でき
また、上に凸の場合も前記と同様にすれば示せと思います。

No.4 回答者： 六つ五郎 回答日時： 2018/08/12 15:11

やはり人の気持ちは、読めないものですね。

最後の方は余分に書きましたが、要は基準（今回は弦）と同じ傾きの個所が最大値。
座標 (1,1)

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2018/08/13 03:41

一般に点（ｘ₀、ｙ₀）から直線　ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝0　(ｂ≠0)･･･①　までの距離は

|ａｘ₀＋ｂｙ₀＋ｃ|/√(ａ²＋ｂ²)　で表わされる。
今、弦を①としそれに対応する曲線をｙ＝f(ｘ)とすれば上に凸の場合曲線は弦の上にあるから
曲線上の点（ｘ、ｙ）に対して　ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＞0　したがって
曲線上の点（ｘ、ｙ）から弦①までの距離F(ｘ)は
F(ｘ)＝(ａｘ＋ｂｙ＋ｃ)/√(ａ²＋ｂ²)＝(ａｘ＋ｂf(ｘ)＋ｃ)/√(ａ²＋ｂ²)
ところがF(ｘ)が最大になる点ｘ＝ξではF’(ξ)＝0　だから
0＝F’(ξ)＝(ａ＋ｂf’(ξ))/√(ａ²＋ｂ²)　よりａ＋ｂf’(ξ))＝0、f’(ξ))＝－a/ｂ
－a/ｂは弦①のかたむきだから、
曲線上の点から弦①までの距離が最大になる点X＝ξでは接線が弦と平行です。

下に凸の場合は曲線は弦の下にあるから
F(ｘ)＝－(ａｘ＋ｂf(ｘ)＋ｃ)/√(ａ²＋ｂ²)　になり結論は同じです。

No.6 回答者： sichtbare 回答日時： 2018/08/14 21:13

曲線上の点Pを取り、Pを通り弦に平行に直線を引く。

この直線上の点は弦から等距離にある点の集まりなので、もしこの直線が曲線と交わればこの直線は曲線を二つに分けるが弦と反対側にある曲線状の点を選べばその点と弦との距離はPと弦との距離より長くなる。そのような点が選べないのは直線が曲線に接するときでこの時距離は極大になる。