ルジャンドル多項式の解であるロドリゲスの公式がボネの漸化式を満たすかどうかの証明をお願いします

初投稿です

一日考えてもできず、夜も寝られません。。。。

助けてください

できれば高校数学程度で理解できれば助かります。

よろしくお願いします！

質問者からの補足コメント

• 

  詰まってるところを
  画像で添付します。
  パート①
  
  詰まっている部分はパート②です

  
    補足日時：2018/08/18 14:55

• すいません、こちらがパート①です

  
    補足日時：2018/08/18 15:00

• 

  パート②
  最後からの繋がりをどうもっていけばいいのか
  教えてください

  
    補足日時：2018/08/18 15:03

No.5 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/08/19 02:55

もちょっと補足.

d^n/dx^n [x f(x)] = n d^(n-1)/dx^(n-1) f(x) + x d^n/dx^n f(x) だから
x d^n/dx^n f(x) = d^n/dx^n [x f(x) - n d^(n-1)/dx^(n-1) f(x) = d^(n-1)/dx^(n-1) {d/dx [x f(x)] - n f(x)}.
つまり
x d^n/dx^n (x^2-1)^n = d^(n-1)/dx^(n-1) {d/dx [x(x^2-1)^n] - n(x^2-1)^n}.
これでボネの漸化式の xP_n(x) の部分が (n-1)階微分の形に書ける. あと
d^(n+1)/dx^(n+1) (x^2-1)^(n+1) = d^(n-1)/dx^(n-1) [d^2/dx^2 (x^2-1)^(n+1)]
なので, (左辺)-(右辺) の形にすると全体を (n-1)階微分でまとめられる.

この回答へのお礼

ありがとうございます！！！

お礼日時：2018/08/22 13:09

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/08/19 01:18

そこはたぶん x P_n(x) を使って処理するんだと思うけど, 全体に字が小さくてところどころ読めない. 例えばパート①の最後のところ, 「n=k のとき～が成り立つとすると」まではなんとか読めるけどそのあとなんて書いてあるのかわかんない. もちろん読めないのはそこだけじゃないけど.

計算はややこしいけど全体として「(x^2-1)^(n-1)×なんかの (n-1)階微分」という形にまとめればなんとかなりそう.

この回答へのお礼

たしかに、拡大しても見にくいですね
すいません。。。

またやってみます。。。

お礼日時：2018/08/19 01:24

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/08/17 17:49

一応補足しておくと, さすがに (n+1)階微分なんかを頑張ってやると死ぬほど面倒なので, 全体的に共通な (n-1)階微分は残す形で式変形するべきだろう. あと x を微分の外に出すときに

[x f(x)]' = f(x) + x f'(x)
となることを使えばいいはず.

この回答へのお礼

ありがとうございます！

ただまだ詰まってまして

画像を添付したので
またアドバイスいただけると嬉しいです

よろしくお願いします

お礼日時：2018/08/18 15:06

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/08/17 17:06

具体的にはどこまでできていてどこで困っているんでしょうか?

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/08/17 15:50

がんばって微分すればいいだけのような気がするんだけど....

どこで困ってるんだろう.

この回答へのお礼

返信ありがとうございます！

自分もそうだろうとおもってやってみたんですが

上手くいかなくて・・・

お礼日時：2018/08/17 16:20