図のように正六角形をその中心で通る対角線で区切り、6個の合同な正三角形に分ける。これら6個の三角形を6種類の色を用いて塗り分ける。ただし、隣合う三角形の色は異なるものとし、回転して一致するものは同じものとみなす。
6色のうち5色を用いて塗り分ける方法は何通りあるか。
答えは1080通りなのですが、導出の仕方がいまいちわかりません…
同じの色になる正三角形が向かい側にある時と一つ飛ばしたところにある時とで場合分けするとよいらしいです。
解き方を教えてください!
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
円縦列は分かりますか。
これはその応用です。1か所(1)を固定して考えましょう。
>同じの色になる正三角形が一つ飛ばしたところにある時
1と3が同じとき
1は6通り
2は(残りの)5通り
3は1と同じなので1通り(決定済)
4は4通り
5は3通り
6は2通り
よって、720(=6×5×4×3×2)通り
「1と5が同じとき」はこれを1/3回転させると必ず同じパターンがあるので考える必要なし。
>同じの色になる正三角形が向かい側にある時
1と4が同じとき、同様に
1は6通り
2は(残りの)5通り
3は4通り
4は1と同じなので1通り(決定済)
5は3通り
6は2通り
よって、720通り
「合計1440通り」となりそうですが、答えが違います。
実は1と4が同じ色ですので、1/2回転させると同じパターンが出てくるのです。
つまり2回数えていることになるので「1と4が同じとき」は360(=720/2)通りしかないのです。
よって正解は「1080通り」となります。
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