平方完成がわかりません... どこをどうすればこの式になりますか？

平方完成がわかりません...
どこをどうすればこの式になりますか？

No.1 回答者： あつしノリノリ 回答日時： 2018/10/16 02:48

数学の先生に教えて貰ったほうが良いと思います。

頑張って下さい。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/10/16 09:38

そもそも、平方完成とは何か、何のためにそれをするのかを理解していないのでは？

平方完成とは、「変数 x を含む２乗の項」と「定数」だけにすることです。
そのために
　x^2 + 2ax + a^2 = (x + a)^2　　　　①
の関係を使って「x の１次の項」をなくします。
着目するのは「x の１次の項」の係数、ここでは「2a」です。これがカッコの中の「a」になります。
つまり「x の１次の項の係数が、何の２倍になっているか」に着目するのです。

これを使えば
　x^2 + ax + b = x^2 + 2(a/2)x + (a/2)^2 - (a/2)^2 + b
　　　　　　　　= [ x^2 + 2(a/2)x + (a/2)^2 ] - (a/2)^2 + b
　　　　　　　　= (x + a/2)^2 - a^2 /4 + b　　　　　　　　②

a も b も「定数」なので、「変数 x を含む項」は (x + a/2)^2 だけになります。


②は x^2 の係数が「１」の場合ですが、より一般的には x^2 にも係数が付く場合で、
　ax^2 + bx + c = a[ x^2 + 2(b/2a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2 ] + c
　　　　　　　　= a[ x^2 + 2(b/2a)x + (b/2a)^2 ] - b^2 /4a + c
　　　　　　　　= a(x + b/2a)^2 - b^2 /4a + c　　　　　　　　③

これも、「変数 x を含む項」は a(x + b/2a)^2 だけになります。

すべての実数は２乗すれば正になりますから、③では
a>0 なら、すべての実数 x に対して　a(x + b/2a)^2 ≧ 0 つまり
　ax^2 + bx + c ≧ -b^2 /4a + c
であり
a<0 なら、すべての実数 x に対して　a(x + b/2a)^2 ≦ 0 つまり
　ax^2 + bx + c ≦ -b^2 /4a + c
となります。
これを使うと、最大、最小を調べるときに便利です。


質問の式はこの③のケースで、③の式で a=8, b=4, c=13 とした場合です。
　t^2 + 2kt + ･･･
という形の「k」を明らかにするために（「t の１次の項の係数」を「何かの２倍」という形にする）
　8t^2 + 4t + ･･･
= 8(t^2 + (1/2)t + ･･･)
= 8(t^2 + 2(1/4)t + ･･･)
として、k=1/4 を求めているのです。

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2018/10/16 10:03

2次方程式の解の公式を導き出す方法に使われているので、復習しましょう！

t^2+(1/2)t= t^2 +2(1/4)t=t^2+2(1/4)t+(1/4)^2 ー(1/4)^2

=(t+1/4)^2 ー(1/4)^2

=(t+1/4)^2ー1/16

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2018/10/16 13:33

１行目→２行目。

　t² の係数を 1 にする為に 8t²+4t を 8 で括っています。
２行目→３行目。
　x²+2ax+a²=(x+a)² の式は分かりますね。
　(x+a)² の形にするには、元の式の x の係数の半分が必要です。
　つまり、{t²+(1/2)t} は {t+(1/4)}² とすることが出来ますが、
　それでは 上の a に相当する (1/4)² が多すぎますから、これを引きます。
　{t²+(1/2)t}={t²+(1/2)t+(1/4)²-(1/4)²}={t+(1/4)}²-(1/4)² となります。
　３行目の 後ろから2項目は 前にある 8 と掛けて -(1/16)x8=-(1/2) です。
３行目→４行目。
　-(1/2)+13 を計算しただけです。