関数列の収束

問３の関数列の一様収束の証明がわかりません。
そもそも各点収束先がわからないと証明できませんがそれをどうやって求めるかがわかりません。

wolframalphaで調べたところ（－１）＾ｎ（1/n^2)→ーπ＾２/12だそうです。
(-1)^n1/n→log2のほうは有名で知っています。
どうやって解くのですか？

質問者からの補足コメント

• 

  ありがとうございます。
  一様収束を示すには、S(x)=（－π＾２/12）X＋log2へ各点収束することを調べて、
  sup❙Sn(x)-S(x)❙→０（ｎ→∞）を示す。
  以外ないのですね？

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/11/12 11:52

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2018/11/12 15:17

一様収束を示すだけならつぎのように.....。

(ｘ＋ｎ)/ｎ²＝(ｘ/ｎ²)＋(1/ｎ)　より
Σ(－1)＾n(ｘ＋ｎ)/ｎ²＝Σ(－1)＾n(ｘ/ｎ²)＋Σ(－1)＾n(1/ｎ）
この右辺第一項はワイエルシュトラスのM判定法で
ｘの有界区間上で一様収束することがわかります。
右辺第二項はｘの値に無関係に、交代級数の性質からある値に収束します。
したがってもとの級数はｘの有界区間上で一様収束です。

No.4 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2018/11/12 12:07

＞一様収束を示すには、S(x)=（－π＾２/12）X＋log2へ各点収束することを調べて、sup❙Sn(x)-S(x)❙→０（ｎ→∞）を示す。

以外ないのですね？

以外ないかと言われたら、違うと思います。

今すぐ証明を書くことはできませんが、－π^2/12を求めることは要求されていないと思います。

「交代級数の収束性の議論」と「三角不等式」を使用すると、実際の値を求めずとも証明出来ると思います。Σ[n=1,∞](－1)^n/n^2もΣ[n=1,∞](－1)^n/nも交代級数として扱えます。

No.3 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2018/11/12 10:55

No.1の解説の一部を訂正です。

「Nとしてx=(2n－1)π/2と表せる(Nは{0}を含みます)」はミスです。「Zとしてx=(2n－1)π/2と表せる」です。－3π/2などが含まれていませんでした。すみません。

No.2 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2018/11/12 09:38

下の回答は厳密な意味では色々説明不足なところもあると思うので、参考程度に見てください。

（参照）ランカスター大学の講義資料
https://www.maths.lancs.ac.uk/jameson/catalan.pdf

No.1 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2018/11/12 09:18

＞どうやって解くのですか？

Σ[n=1,∞]1/n^2=π^2/6を知っていることを前提とします。

本当はこれを解く際は解析論で出てくる三角関数の無限乗積展開をしっかり学ぶ必要があります。

因数分解なども出てきますが、詳しくは三角関数の無限乗積展開による無限級数の導出を見れば載っている内容です。