高校数学、確率の問題です。

下記の問題についてご教示ください。

Q：m個のサイコロを同時に振る。これをn回繰り返すとき、
（1）毎回、少なくとも1個のサイコロに1の目が出る確率を求めよ。（2）少なくとも1回、すべてのサイコロに1の目が出る確率を求めよ。

Ａ：(１)省略

（2）「少なくとも1回、すべてのサイコロに1の目が出る確率」を求めるが、「少なくとも1回」と「すべてのサイコロに1の目が出る」の複合条件のうち、後の条件から考える。「すべてのサイコロに1が出ること」を「成功」とする。

「m個のサイコロ投げ」で成功する確率をp、失敗する確率をqとすると、pはm個のサイコロすべてに1が出る確率で p＝（1/6）＾m よってqはその余事象でq＝1ーp＝1ー（1/6)＾m
である。これで1回の成功の確率が出たので、もう1つの条件「m個のサイコロ投げ」をn回繰り返すとき「少なくとも1回成功する」確率を求める。
「少なくとも1回成功する」の余事象は1回も成功しない、すなわち「n回とも失敗する」だから、その確率はq＾nである。したがって、少なくとも1回成功する確率は

1ーq＾n＝1ー{1ー（1/6)＾m}＾ｎ

私はこの後の条件の方が分からず、n回の試行のうちn回ともすべて1が出る確率、n回の試行のうちn-1回すべて1が出る確率、n回の試行のうちn-2回すべて1が出る確率・・・と言うように、一個一個足していくことにしました。添付画像の通りです。（見にくくてすみません。図中【すべて1】と書いてあるのは「m個のサイコロすべて1の目が出る場合」、【フリー】と書いてあるのは【すべて1】の余事象、どの目が出てもいい場合、と言う意味です。）

すると、求める確率は

（1/6）＾mn+nC1（1/6＾m)＾n-1{1ー（1/6)＾m}+nC2（1/6＾ｍ)＾n-2{1ー(１/6＾ｍ）}＾２+・・・・・・+nCk（1/6＾ｍ)＾n-k{1ー（1/6＾ｍ)}k+・・・・・・+nC1（1/6＾m){1ー（1/6＾ｍ)}＾n-1=？？？

となりました。この後の条件、余事象を使わずにゴリ押しで解く方法をご教示ください。

No.1 回答者： 20170130 回答日時： 2018/11/16 11:20

質問者様の式をp=(1/6)^mを使って書くと

p^n + (nC1)*(p^(n-1))*((1-p)^1)+…(nCk)*(p^(n-k))*((1-p)^k)+…+(nC(n-1))*(p^1)*((1-p)^(n-1))
ですよね

二項定理で
((p+(1-p))^n)-(1-p)^n =1^n-(1-p)^n としては駄目ですか（余事象の計算そのものになっているようですが）