次の無限級数の収束、発散について調べ、収束する場合は、その和を求めよ。 という問題です。 解答の過程

次の無限級数の収束、発散について調べ、収束する場合は、その和を求めよ。
という問題です。
解答の過程を書いていただきたいです。
お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/11/18 16:15

手順

①まず部分和を求める
Sn=Σ[K=1～n]3/{(3K-2)(3K+1)}とすると
3/{(3K-2)(3K+1)}={(3K+1)-(3K-2)}/{(3K-2)(3K+1)}=1/(3k-2)-1/(3k+1)　←←←部分分数分解
であるから
Sn={1/(3x1-2)-1/(3x1+1)}+{1/(3x2-2)-1/(3x2+1)}+{1/(3x3-2)-1/(3x3+1)}+・・・+{1/(3ｎ-2)-1/(3ｎ+1)}
　　　　　　　　　↑・・相殺・・↑　　　　　↑・・相殺・・↑　　　　　↑・・相殺・・・・↑
=1-1/(3n+1)
②部分和について無限大を考える
与式=lim[n→∞]Sn=lim[n→∞]1-1/(3n+1)=1