この問題おしえてくれるかた、1問だけでもいいのでおしえてください！よろしくお願いします！

この問題おしえてくれるかた、1問だけでもいいのでおしえてください！よろしくお願いします！

No.2 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/12/19 17:07

整数n(n≧0)に対して、αn=(1+i)ⁿとおく。

また、n≧1に対して、βn=αn－αn－１
とおく。
(1)βnの絶対値|βn |を求めよ。
(2)βnの偏角argβn を求めよ。
(3) |β１|+|β２|+･･･+|βｎ|>1000となる最小のnを求めよ。

はじめにα=α１=1+iとおくと、αの絶対値と偏角は、
|α|=√2＿＿①、argα=π/4＿＿②である。　（argα=π/4は度で表せば45°）
(1) βn=αn－αn－１= (1+i)ⁿ－(1+i)ⁿ⁻¹=αⁿ－αⁿ⁻¹=αⁿ⁻¹(α－1)
=αⁿ⁻¹ ((1+i)－1) =ｉαⁿ⁻¹＿＿③
③から|βn |=|ｉαⁿ⁻¹ |=|ｉ|･|αⁿ⁻¹ |=1･√2ⁿ⁻¹=√2ⁿ⁻¹ ＿＿④　　①を使った。
(2) ③から
argβn= arg(ｉαⁿ⁻¹)= arg(ｉ)+ arg(αⁿ⁻¹)= arg(ｉ)+ (n－1)arg(α)
=π/2+ (n－1)π/4＿＿⑤　（度で表せば90(1+(n－1)/2) °）
　arg(ｉ)=π/2　(90°)と②を使った。
(3) ④から
|β１|+|β２|+･･･+|βｎ|は初項a=１、公比r=√2の等比級数であるから、
その和Sは、公式S=a(rⁿ－1)/(r－1)により
S=|β１|+|β２|+･･･+|βｎ|=(√2ⁿ－1)/(√2－1)＿＿⑥となる。
S= (√2ⁿ－1)/(√2－1)>1000の条件は
S≒√2ⁿ/(√2－1)≒1000　と近似して
logS=log(√2ⁿ/(√2－1))=(n/2)log2－log(√2－1)=log1000　
n=2(log1000+ log(√2－1))/log2=2log(414.21)/0.3010=17.388＿＿⑦
ｎ=17のとき√2ⁿ=256√2となり、⑥はS=(√2ⁿ－1)/(√2－1)=871.6<1000
ｎ=18のとき√2ⁿ=512となり、⑥はS=(√2ⁿ－1)/(√2－1)=511/0.4142
=1233.7>1000
答え18
高校では偏角はラジアンを使う。度は使わない。

No.1 回答者： 20170130 回答日時： 2018/12/19 15:42

β(n)=α(n-1)*((1+i)-1)=i*α(n-1) なので

β(n) は α(n-1) を大きさを変えずに90°回転させたものです

(1+i)=(√2)((1/√2)+(i/√2))=(√2)(cos45°+i*sin45°) だから
(1+i)を掛けることは大きさを√2倍にし45°回転させることです

α(0)=1 なので
α(n-1) の大きさは (√2)^(n-1)、偏角は45°*(n-1)
したがって
β(n) の大きさは (√2)^(n-1)、偏角は45°*(n+1)

β(1)からβ(n)までの絶対値の和は、初項1,公比√2の等比数列の第n項までの和
((√2)^n-1)/((√2)-1)

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2018/12/31 10:38