逐次近似法、数列

解析学で連続関数全体の集合C0（I)に対して、不動点定理
縮小写像φはφ（ｆ）＝ｆとなる関数（不動点）がただ１つ存在する。
を勉強しました。
これによって、C0（I)の元ｆ０（ｘ）からφ（ｆｎ）＝ｆｎ＋１として近似関数列が取れることもわかります。
これのもう少し初歩的な例（高校数学レベル）として
http://izumi-math.jp/F_Wada/fixpoint_theorem.pdf
のｐ９のような例があります（画像に再褐）が、この例題４に関して疑問があります。（画像）
どなたか教えてください。

質問者からの補足コメント

• 例４の問題です

  
    補足日時：2019/01/09 01:35

• 疑問点１

  
    補足日時：2019/01/09 01:36

• 疑問点２

  
    補足日時：2019/01/09 01:37

• 画像でa<1となっていますが0<a<1です。すみません。

    補足日時：2019/01/09 01:43

• ありがとうございます。
  縮小写像であることは間違いないのですね。
  高校数学の参考書を見てみましたところ、図のように数列が極限に近づいていく様子が書かれていました。
  縮小写像でなくとも、x(n+1)=f(x(n))で定義した数列が不動点αに対して、
  ｜x(n+1)-α｜≦ρ｜x(n)-α｜（０≦ρ＜１）★となる場合もありますよね？
  たとえば、ｙ＝√ｘ＋２＝ｆ（ｘ）ではｙ‘＝1/(2√ｘ＋２)であり、ｘ＝－２の近傍ではｆ（ｘ）は縮小写像ではありません。
  しかし、この場合、図からｘ１がｘ＝－２近傍であっても★を満たすような近似数列に｛ｘｎ｝はなっている思われます。

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/01/10 00:09

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/01/10 11:06

0<a<1

f(x)=(-a/2)x^2+x+(a^2)/2
は定義域が全実数全域では縮小写像ではありません
定義域を0<x<1に限定すると
0<x<1で
f(x)=(-a/2)x^2+x+(a^2)/2
は縮小写像となります

f(x)=√(x+2)
の場合も
は定義域が-2≦xでは縮小写像ではありません
定義域を(-2の近傍を除いた区域)に限定すると
-2<a
a<x
a<y
b=1/|2√(a+2)|
とすると
0<a+2<x+2
0<a+2<y+2
0<√(a+2)<√(x+2)
0<√(a+2)<√(y+2)
0<2√(a+2)<√(x+2)+√(y+2)
1/|√(x+2)+√(y+2)|<1/|2√(a+2)|=b
|f(x)-f(y)|=|√(x+2)-√(y+2)|=|x-y|/|√(x+2)+√(y+2)|≦|x-y|/|2√(a+2)=b|x-y|
|f(x)-f(y)|≦b|x-y|
だから
-2<a≦xで
f(x)=√(x+2)
は縮小写像になります

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/01/09 21:40

その

f(x)=(-a/2){x-(1/a)}^2+1/(2a)
は間違いです.そうではなく
f(x)=(-a/2){x-(1/a)}^2+(1+a^3)/(2a)
です.
f(x)はx^2の係数-a/2<0だから上に凸の関数で
x<1/aでf(x)は増加
1/a<xでf(x)は減少

0<a<1
x(1)=a
なので

0<x<1
の範囲で
fは縮小写像になる
0<x<1の時
0<a<1
だから
0<x<1<1/a
だから
0<x<1の時f(x)は増加なので
f(0)<f(x)<f(1)

f(0)=(a^2)/2>0
f(1)=(a^2-a+2)/2=(1/2)(a-1/2)^2+7/8<1
だから
0<f(0)<f(x)<f(1)<1
だから
0<x<1で
f(x)は縮小写像となっている