【至急】大学数学1年レベルの問題がわからないので教えて頂けるとたすかります

【至急】大学数学1年レベルの問題がわからないので教えて頂けるとたすかります

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/05 20:59

集合 X から Y への写像 f が

単射であるとは、f(X) の任意の元 y に対して f(x)=y となる X の元 x が１個であること。
全射であるとは、値域 f(X) が 後域 Y と一致すること。
全単射であるとは、全射かつ単射であることです。全単射は、X と Y の一対一対応です。

1. 全単射。
この範囲で cos は単調減少ですから、f(x)=y となる x は各 y に対して１個です。
単調減少なので値域は [f(π/2),f(0)] ですが、これは [0,1] ですね。

2. 単射だが全射でない。
単射であることは、1.のとおりです。
f(X) = [0,1], Y = [-1,1] であり、一致しません。

3. 全射だが単射ではない。
y=f(x) のとき、x は yx^2-x+y=0 の解です。-1/2≦y≦1/2 であれば
判別式=1-4y^2≦0 となるので、対応する実数 x が存在します。
すなわち、Y の任意の元が f(X) に含まれています。
y=1/4 のとき、対応する x は x=2±√3 の2個あります。