虚数単位の正負について

正数と正数をかけても負数になりませんが、負数と負数をかけると正数になってしまいます．この点で正数と負数は同等の存在ではないようです．ところが＋ｉと+ｉをかけても-ｉと-ｉをかけても同じように-１になってしまいます。正数負数と正負の虚数単位とでは両者の関係のあり方がちがうのでしょうか。

No.5 ベストアンサー 回答者： grothendieck 回答日時： 2004/11/30 12:45

良いご質問だと思います。

実数と複素数では実数には順序関係を考えるが、複素数では通常順序を考えないという違いがあります。正数負数と正負の虚数単位とではそのような違いがあると思います。

参考URL：http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/number/co …

この回答へのお礼

ご示唆ありがとうございます。もう少し勉強してみたいと思います．

お礼日時：2004/11/30 13:10

No.6 回答者： manchin 回答日時： 2004/11/30 12:55

ガウス平面で考えると、-1を掛けることは、反時計方向に180度転回、iを掛けることは、反時計方向に90度転回することに対応していますから、計算してみてください。

iで割ることは、時計方向に90度転回、に対応していますね。

この回答へのお礼

ご助言ありがとうございます．

お礼日時：2004/11/30 13:42

No.4 回答者： tarame 回答日時： 2004/11/30 12:32

質問の意図が、何ともつかめないのですが…。

そもそも虚数には、符号(正か負か)という議論は無意味なのです。
仮に「i＞0」とすると
両辺をｉ倍して　i^2＞0
ゆえに -1＞0 となり「ｉ＞0」でないことが分ります。
「ｉ＜0」としても同様です。
虚数の正負は考えないのです。

この回答へのお礼

虚数単位の前に正負の符号がついているのでわからなくなりました。ありがとうございました．

お礼日時：2004/11/30 16:32

No.3 回答者： kbannai 回答日時： 2004/11/30 11:52

少々「同等」の定義が曖昧なのですが…。

演算によって結果が同じだからといって、演算前のものが同等（同値？）とは
限らないと思います。

確かに負の数と負の数の積は正の数ですが、
負の数と負の数の和は正の数ではありませんよね。

虚数は数を数える手段としての数概念とは全く無関係です。
基本法則 i^2=-1という記号であって、
その存在価値は、n次方程式の根がn個あるように
有用かつ取り扱いやすい数体系の中で閉じています。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます．ご示唆に添って勉強させていただきます．

お礼日時：2004/11/30 12:16

No.2 回答者： ranx 回答日時： 2004/11/30 11:07

正数に正数を掛けると「正数になります」。

負数に負数を掛けても「正数になります」。
同じように「正数となる」関係を同じと見るか異なると見るかは、
見る人の視点によります。
とすれば、
(+i)×(+i)=(-1)
(-i)×(-i)=(-1)
の関係を同じと見るかどうかも、その人の視点によるのではないでしょうか。

恐らく歴史的には、正数の概念を補うものとして負数の概念ができました。
この時点で正数と負数は同等ではなかったとも言えます。
虚数の正負は、負数の開平として、恐らく同時に概念として成立しました。
その意味では両者は最初から同等だったと考えられます。
そのように考えれば、「異なる関係」と考えることも、一応可能だと思います。
あらためて言いますが、「見る人の視点によります」。

この回答へのお礼

ありがとうございました．起原が同時であったかそうでなかったかという点が特に貴重なご示唆でした．数学的には負数から正数が生まれた様にも思えるのですが，たいへん勉強になりました．

お礼日時：2004/11/30 11:19

No.1 回答者： cheetah1374 回答日時： 2004/11/30 10:57

i=√-1なのです。

したがって、
(+i)×(+i) = i^2 = (√-1)^2 = -1
(-i)×(-i) = (-1)^2×(i^2)= (√-1)^2 = -1

となり、どちらも-1となります。

この回答へのお礼

早速ありがとうございました。

お礼日時：2004/11/30 10:59