ルベーグの収束定理を使う問題がわかりません。

この問題が解けません。大学で解析学をやっているのですが。難しくて・・・

F∈L^1(0,1)とする。
(1)自然数ｎに対し、x^nF(x)∈L^1(0,1)を示せ。
(2)limn→∞∫[0,1}x^nF(x)dm(x)=0を示せ。

という問題です。ルベークの収束定理を使う事はわかるのですが、どうつかえばいいのか教えてください。
数学好きなのに解析学わからなくて困ってしまいます。

No.2 回答者： kyotowim 回答日時： 2004/12/01 22:35

adinatさんのおっしゃるように非常に基本的な問題です。

積分論は、数学科で専門にするのでなく、応用で使うだけであれば定理の使える条件と結果だけ覚えておけば足りますが、学部の間で時間があるならば、証明まできちんと手を動かして理解しましょう・・。証明まできちんと一度は理解すれば、adinatさんが最後に注釈しておられるような、直感的にあきらかなことが、確かに明らか、と思えるようになると思います。

No.1 回答者： adinat 回答日時： 2004/12/01 21:03

少し失礼な言い方になって申し訳ないですが、これものすごく基本的な問題です。

習いたてのことであろうとは思いますが、もう一度可積分とか収束定理の主張を復習なさったらよいかと思います。

一応簡単にコメントさせていただくと、(1)はまずx^nF(x)がルベーグ可測であることを言います。ただし正直言って、こんなことをまじめに証明する人は世界広しと言えどもほとんどいないでしょう。明らかですから。x^nもF(x)も可測関数で、可測関数の積が可測になる、というような感じです。基本中の基本なので、一度はご自分の手で確認されることを薦めます。

あとはL^1を確かめればよいですが、|x^nF(x)|を0～1までで積分して有限になればよいです。これはF(x)が可積分、すなわち｜F(x)｜の0～1の積分が有限、ということから分かると思います。

二番はルベーグの収束定理ですが、｜x^nF(x)｜をある”可積分”関数で上から評価できます。この問題をよく考えたら、どんな可積分関数で抑えられかはすぐに分かると思います。ルベーグの収束定理の主張は、一様に（nによらずに）可積分関数で抑えられている関数列のルベーグ積分に関しては、limを交換できる、という主張でした。概収束の意味でx^nF(x)→0になることはすぐにわかると思います。

念のため注意しておきますが、F(x)は(0,1)のほとんど至る所で有限値になっています。これは可積分条件L^1(0,1)から従うことですが、やはり一度ぐらいは確かめておくべきことだと思います。とは言っても、∞になるような点がたくさんあったら、積分が有限にならないことは直感的には明らかだとは思いますが。