正則行列A.BでAB－ＢＡ＝Iとなるものは存在しないことを示せ 教えてください、お願いします

正則行列A.BでAB－ＢＡ＝Iとなるものは存在しないことを示せ

教えてください、お願いします

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/16 18:52

どのように計算するのかを見るために２次の要素行列の例を図に示した。

２×２個の行列Aの要素をa､b､c､dと仮定する。
行列Bは行列要素をx､y､u､vと仮定する。
A とBの積ABおよび逆順の積BAは、その下に示した。
ABの(1,1)要素はax+by、(2,2)要素はcu+dvで、これを対角要素という。
対角要素を全部加えたものを、行列のトレースといい、記号tr()で表す。
BAの対角要素は(1,1)要素= ax+ cu、(2,2)要素= by +dvであるから
BAのトレースはtr(BA)= ax+ cu + by +dvである。
tr(AB)= tr(BA)であるから、AB－ＢＡ＝Iの左辺のトレースは０である。
一方、AB－ＢＡ＝Iの右辺は、2次の単位行列のトレースは
2である。
ゆえに、AB－ＢＡ＝Iは成立し得ない。
　一般のn次行列の場合、Aの行列要素をａij、Ｂの行列要素をｂijとし、
C=ABの行列要素をｃij、D=BAの行列要素をｄijとすると、
行列の積の定義により、
Cの対角要素はｃii=Σ[k=1~n] ａikｂkiだから
tr(C)=Σ[i=1~n]ｃii=Σ[i=1~n] Σ[k=1~n] ａikｂki
Dの対角要素はｄii=Σ[k=1~n] ｂikａkiだから
tr(Ｄ)=Σ[i=1~n]ｄii=Σ[i=1~n] Σ[k=1~n] ｂikａki
和を取るΣの添え字ｉとｋを入れ替えれば,tr(C)とtr(D)は同じである。
tr(AB)= tr(BA)であるから、AB－ＢＡ＝Iの左辺のトレースは０で
右辺は、ｎ次の単位行列のトレースはｎである。
ゆえに、AB－ＢＡ＝Iは成立し得ない。
ここまで、A.Bが正則行列という条件は仮定してない。よってA.Bが正則行列であっても
正則行列でなくてもAB－ＢＡ＝Iとなるものは存在しない。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/05/13 08:10

両辺のtrとってみる。

tr(A+B)=tr(A)+tr(B)、tr(AB)=tr(BA) を使って良いなら瞬殺(^^;