力学的エネルギーの保存 （ループコースター・小球がレールを途中で離れる）

このような問題があります：

斜面ABをなすレールと点Bで滑らかに繋がった半径rの円形レール、それに滑らかに続く水平なレールBCからなるループコースターがある。斜面AB上の高さ２rの位置から質量mの小球を静かにはなしてレールに沿って滑らせると、小球は高さhの位置で円形レールの内側から離れた。レールは鉛直面内にあり、小球とレールとの間の摩擦は無視できるものとする。

hはどのように表されるか。
答えは（5/3）*rとなっていますが、それはなぜか本当に分かりません。

よろしければ、ご解説をお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： kuroki55 回答日時： 2019/06/02 11:18

下図を参考にしてください。

離れる瞬間の図です。

遠心力
F=mv²/r

速度ｖは
(1/2)mv²=mg(2r-h)
v²=2g(2r-h)

従って
F=2mg(2r-h)/r

離れる瞬間では
F=mgcosθ
cosθ=2(2r-h)/r

一方
h=r+rcosθ
従って
h=r+2(2r-h)
h=5r-2h
h=(5/3)r

この回答へのお礼

図付きのご説明を本当にありがとうございます！！
よく分かりました。
なるほどね、小球がレールを離れたのはその速さがゼロになったからではなく、垂直抗力がゼロになったからですねxp
私の考え方が間違っていた〜

お礼日時：2019/06/03 20:44

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2019/06/02 13:06

力学的エネルギー保存から小球の速度を求め、その速度での「遠心力」が「小球に働く重力の半径方向成分」よりも大きければレールを押し続ける（レールに密着する）ことになり、それが逆転すればレールから離れます。

質問者さんの疑問は、「2r」や「h」が小球の重心（通常であれば球の中心）の高さではなくて「小球の下端」の高さであること、小球の半径が示されていないこと、ということではないかと思います。
確かに、この問題の場合には、「2r」や「h」の高さの差から「小球の重心の速度」は求まりますが、ループ中心から重心までの「半径」が分からないと「遠心力」が計算できませんね。
「遠心力は mv^2 /r」とするためには「小球の大きさは無限小（質点）」という条件が必要です。この図からは「小球は明らかに大きさ（半径）を持っている」と読みとれます。

別な質問の回答にも書きましたが、出題者の「想像力」なり「問題文の表現」に不足があるようです。

No.3 回答者： lasatoo 回答日時： 2019/06/02 10:41

ごめんなさい、一定向心力という言い方は語弊がありました。

向心力は必要な向心力はvによって変わります

No.2 回答者： lasatoo 回答日時： 2019/06/02 10:36

円運動するには一定向心力mv²/rが必要です！

ループコースターを小球が滑っているときに働く力は
重力mg
垂直抗力N
の2つですがNが自由に値を取ることでその2つの合計の中心方向の成分がmv²/rになるようになってます
(mgの中心方向成分)+N=mv²/r
という感じですね。(どこかの角度を適当にθとおけばmgcosθみたいな感じで表せます)
今位置エネルギーが上がるにつれて運動エネルギーは下がる、つまりvは小さくなるので、この式の右辺は小さくなります。そしてhがrよりも大きくなると(mgの中心方向成分)は必ず正(必ずベクトルは中心の方を向く)となるので、例えばずっと円運動をしたとして、(mgの中心方向成分)>mv²/rとなるようなところでは、等式よりNが負にならないと辻褄が合いません
実際には垂直抗力Nは正の値しか取らないのでこれはおかしいですね
ということで途中から垂直抗力が0になるポイントでmgの成分が必要な向心力以上に働いてしまうため、円運動できなくなります。
これが理解できたら次は離れたあと最高点を求めてみてください！
また何かあれば質問してみてください