加速度運動の速度計算です

お世話になります。
スキー滑走でのお話だとイメージして下さい。

直滑降で斜面を滑った場合の最終速度を求めたいのですが教えていただけませんでしょうか?

斜面は添付画像のとおりで上から緩斜面→中斜面（短い）→緩斜面と言う構造です。
滑走距離は95ｍ。
滑走時間は10秒でした。

スキーヤーはＡ地点から停止状態からスタートして直滑降でゴールＢ地点をそのまま滑りぬけて行きましたので故意による減速はしません。

この場合のゴール地点での速度を知りたいのですが計算で算出する事は可能でしょうか?
空気抵抗やスキーと雪面の摩擦は無視してかまいません。

No.1 回答者： yoshi20a 回答日時： 2011/06/23 14:13

摩擦、空気抵抗を無視すると、エネルギー保存側が適用されます。

斜度に関係なく、AB間の高低差のみで、最大速度はB点になります。
(mv^2)/2+mgh=一定
これより、v=√(2gh) (※gは重力加速度、hは高低差)

※斜度があると速度が速くなるのは、垂直抗力が小さくなることによる摩擦力の減少によります。

この回答への補足

お世話になります。

ご丁寧に教えていただき、有難うございました。

ｈ（肯定差）＝30ｍですのでｇ＝9.8と共に代入すると23.22と言う値がでました。

これって23.22ｍ/秒って事なのでしょうか?

無知ですいません。今一度教えていただけませんでしょうか?

よろしく御願いいたします。

補足日時：2011/06/23 18:42

No.2 回答者： KEIS050162 回答日時： 2011/06/23 14:44

簡単な速度と距離の公式（ニュートン力学の最初の頃で習う）を使って、

C地点での斜度の変化は無視して、全体を簡単な等加速度運動として計算する。

初速０ｍ／ｓの式を速度と距離の式から、
９５ｍ（全体の距離）　と　１０秒（全体の時間）　を当てはめて加速度（等加速度と仮定して）を求め、
初速０ｍ／ｓ　と加速度×時間から、１０秒後の速度を求める。

もし、Ｃ地点までの時間が分かれば、同じ様な方法でＣ地点での速度を求め、こんどはこれを初速としてＣ－Ｂ地点までで計算する。

概算で求めるのであれば、これでも十分かも知れないですね。

この回答への補足

お世話になります。

「簡単な速度と距離の公式」ってどのような公式だったでしょうか?
低レベルのご質問で誠に申し訳ありませんが、教えていただけませんでしょうか?

ちなみにスタートからＣ地点までの時間は5秒でした。

勝手なお願いではなはだ申し訳ありませんが、計算まで教えていただく事は無理でしょうか?

申し訳ありませんが、宜しくお願い申し上げます。

補足日時：2011/06/23 19:29

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/06/23 15:05

はじめと終わりの緩斜面の長さが判れば概算で計算できそうです。

初速をv0,重力加速度をg,緩斜面Aの長さla,緩斜面Bの長さlb、中斜面Cの長さlc,緩斜面Aの通過に要する時間ta,緩斜面Bの通過に要する時間をtb,中斜面Cの通過に要する時間をtcとすると
la=v0*ta+(1/2)(g*sin(5°))*ta^2
lc=(v0+g*sin(5°)*ta)*tc+(1/2)(g*sin(18°))*tc^2
lb=(vo+g*sin(5°)*ta+g*sin(18°)*tc)*tb+(1/2)(g*sin(10°))*tb^2
ta+tb+tc=10
以上の連立方程式を解き、v0,ta,tb,tcを得ます。

実際にはv0さえ得られれば後はエネルギー保存(スタート地点とゴール地点の高度差=la*sin(5°)+lc*sin(18°)+lb*sin(10°)であることを使う)で計算可能なのでta,tb,tcの値までは必要は無いのですが。

この回答への補足

ご丁寧な書き込み、有難うございます。

緩斜面の長さは
上方緩斜面＝15ｍ
中間急斜面＝30ｍ
下方緩斜面＝50ｍ

ちなみに高低差＝30ｍです

物理はちんぷんかんぷんで何も分からないので実際の計算経過と結果まで教えていただけると大変ありがたいので申し訳ありませんが、教えていただけませんでしょうか?

何卒、宜しくお願いいたします。

補足日時：2011/06/23 19:22

No.4 回答者： KEIS050162 回答日時： 2011/06/23 22:25

詳しくはこの辺り↓の解説で。

http://laboratory.sub.jp/phy/01.html#1

時間　ｔ　、加速度　α、初速度　Ｖｏ　として、時刻 ｔ　における速度をｖ（ｔ）、距離をｘ（ｔ）　とすると、


速度　ｖ（ｔ）　＝　αｔ　＋　Ｖｏ
距離　ｘ（ｔ）　＝　１／２αｔ＾２　＋　Ｖｏ・ｔ

となります。これを使って、Ａ地点では初速　０ｍ／ｓなので、

ｘ（１０）　＝　９５　　＝　１／２α（１０＾２）
　　　　　　　　α　　＝　１．９５

ｖ（１０）　＝　１．９５　＊　１０　＝　１９．５ｍ／ｓ　（時速だとおおよそ７０ｋｍ／ｈ）


スタート地点からゴールまで一定の加速で滑ったという仮定ではありますが、簡単に計算できます。

うっかりしてましたが、Ｃ地点を考慮にする場合、時間とＡ－Ｃ間の距離も分からないと計算出来ませんでした。（すいません）

この回答へのお礼

お礼が遅れて申し訳ありませんでした。
詳しく教えていただき、有難うございました。
また、機会がありましたら宜しく御願い致します。

お礼日時：2011/07/14 09:15

No.5 ベストアンサー 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2011/06/24 14:19

　空気抵抗も雪面抵抗もないとすいれば、#1さんの補足の中で行った計算でOKで、23.22ｍ/秒（秒速23.22ｍ）という事です。

時速に直すと84ｋｍくらいです。Excelを使って、2×9.8×30のルートを計算してみたところ、24.25ｍ/秒になりましたが、まぁこんなのは計算誤差の内として、時速87ｋｍです。いずれにしろ時速85ｋｍ程度になります。

　滑走距離95ｍ（15＋30＋50）で標高差30ｍとすれば、平均斜度17.5°という事になりますから、自分の経験では、ゴールでは時速40ｋｍがいいところと思えます。雪面抵抗って、けっこうでかいですね。特に後半の緩斜面が長いですので、実際には20～30ｋｍ程度かな？、と思えます。

　滑走時間10秒を実測時間とすると、実際の平均時速は34ｋｍになります。なんか妥当なところだなぁ～(^^)。たぶんゴールでは、徒競走を全力で走った程度の速さです(^^)。

この回答へのお礼

お礼が遅れて申し訳ありませんでした。
非常に分かりやすい解説、有難うございました。
又機会がございましたら宜しく御願いいたします。

お礼日時：2011/07/14 09:12