Aはm×n行列で階数はmである、このときn×m行列Bが存在してABが単位行列にたることを示せ 教えて

Aはm×n行列で階数はmである、このときn×m行列Bが存在してABが単位行列にたることを示せ

教えてください、お願いします

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/11 20:05

A の成分は何ですかね？ とりあえず実数 R としておきましょう。

A は n 次実線型空間 R^n の列ベクトル x に左から作用して x→Ax という一次変換を表します。
A の階数が m なので、A の像は R^m です。
次元定理 dim Im A + dim Ker A = dim Dom A より、m + dim Ker A = n、
Ker A は x∈Ker A ⇔ Ax=0 となる R^n の部分線型空間ですが、その次元が n-m です。
R^n における Ker A の補空間 W をひとつ採ると、dim W = n - (n-m) = m となっています。
W の基底をひと組採り、その基底ベクトルを列として並べて行列 B を作ります。
B は R 成分の n×m行列であって、AB は m 次の単位行列になります。

No.2 回答者： seiji91 回答日時： 2019/06/13 14:24

ほぼ公式というか基本性質というものなので、他の公式とは裏返しの関係だからそれらを使わないとすると、

連立方程式の独立性で証明するんだろうけど、時間かかりそうだしなぁ・・・ってのが本音。