A＝1 −1 1 1 1 0 1 −2 −1 0 1 0 −1 0 1 行列Aとする ベクトル v1

A＝1 −1 1 1 1
0 1 −2 −1 0
1 0 −1 0 1 行列Aとする
ベクトル
v1＝0 v2＝1 v3＝−1
2 1 0
1 1 0
0 −1 0
1 0 1
について次の問いに答えよ。
(1)Aの階数を求めよ
(2)v1.2.3 は線型独立であることをしめせ。
(3)v1.2.3はAを係数行列とする斉次一次方程式の基本解系であることをしめせ。

教えてください、お願いします

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/24 19:40

(1)

A を(行)階段行列へ変形してみましょう。
1 -1 1 1 1
0 1 -2 -1 0
1 0 -1 0 1
↓第1列を第3列から引く
1 -1 1 1 1
0 1 -2 -1 0
0 1 -2 -1 0
↓第2列を第3列から引く
1 -1 1 1 1
0 1 -2 -1 0
0 0 0 0 0
(行)基本変形で階数は変わらないので、
階段行列のピボットの個数が A の階数です。 rankA = 2.

(2)
{v1,v2,..vn} が線型独立だとは、(c1)v1 + (c2)v2 +...+ (cn)v2 = 0 となる
スカラー c1,c2,...,cn が c1 = c2 =...= cn = 0 に限られることを言います。

v1 = (0,2,1,0,1)^T,　v2 = (1,1,1,-1,0)^T,　v3 = (-1,0,0,0,1)^T でしょうか？
v1, v2, v3 の線型結合を作ると a・v1+b・v2+c・v3 = (b-c,2a+b,a+b,-b,a+c) なので、
a・v1+b・v2+c・v3 = 0 ⇔ b-c = 0 かつ 2a+b = 0 かつ a+b = 0 かつ -b = 0 かつ a+c = 0 です。
連立一次方程式を解けば、a = b = c = 0 となります。

(3)
「基本解系」って言葉が初耳なんですが、解空間の基底という意味にとっておきます。
KerA の基底ですね。

次元定理( https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11179057.html )より、
dim KerA = 5 - 2 = 3.

計算してみると A v1 = 0,　A v2 = 0,　A v3 = 0 になっていますから、
(2)より、v1,v2,v3 は KerA の一次独立な元です。
dim KerA = 3 なので、基底ベクトルの個数も合い、
{v1,v2,v3} が KerA の基底だと判ります。