電位

この問題はちょっと迷っています：

xy平面上の原点OとA(-d,0)(d>0)にそれぞれ電気量+Q,-4Q(Q>0)の点電荷を固定した。原点Oからx軸の正の向きに十分に離れた点（無限遠点）に、電気量+q(g>0)、質量mの点電荷Pを静かに置いたところ、x軸上を負の向きに動き始め、正のx軸上で電位が無限遠点と等しくなる点Bで原点Oにもっとも接近した。ただし、クーロンの法則の比例定数をkとし、点電荷には静電気力以外の力は働かないものとする。

点電荷Pが動き始めてから点Bに到達するまでの間の、速さの最大値はどのように表されるか。

答えは：sqrt（2kqQ/md）

点Bの、原点からの距離をrとします。

①点Bにおいて点電荷qが−４Qから受ける力とQから受ける力が等しいことから：
４kQq/(d+r)^2=kQq/r^r
4r^2=(d+r)^2
2r=d+r
→r＝d　を得ますが、

②点Bの電位は「無限遠点と同じ電位」を考えれば：
(V1=-4Qによる電位; V2=Qによる電位)
Vb＝V１＋V2＝０

0=(kQ/r)+(-4kQ/d+r)
kQ/r=4kQ/d+r
d+r=4r
d=3r →r=(1/3)d

また：①を利用して計算を進めると：
（点電荷Pが無限遠からBまで移動する）
qΔV=ΔEk , 点電荷Qを基準にして考えれば：
q(0-kQ/r)=0-(1/2)mv^2, r=d
qkQ/d=(1/2)mv^2

v=sqrt(2kQq/md)　→これは答えとしてオッケーですが、自分ではちょっと漠然とした結果に感じます…

一番目に：①と②で得られた結果が違うのは、一体なぜですか？
なぜ：この②「正のx軸上で電位が無限遠点と等しくなる点Bで原点Oにもっとも接近した」がここで働かないのか？（qΔV=ΔEkかつΔV＝０→ΔEk＝０となるから　）
②を利用するにはどうすればいいですか？
無限遠点の電位は０と考えているのは過ちではないでしょうか？

それらを解説していただければ、幸いです。

長くなってしまい申し訳ありません。
よろしくお願いします。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/07/01 23:44

>>一番目に：①と②で得られた結果が違うのは、一体なぜですか？

<<
質問の意味が汲み取れませんが、①では r=d、②では r=d/3 という違いとします。
①は 電位が最大値となるrで、②は電位が0となるrです。だから、rが違います。

>>なぜ：この②「正のx軸上で電位が無限遠点と等しくなる点Bで原点Oにもっとも接近した」がここで働かないのか？
<<
解読不能です。

>>②を利用するにはどうすればいいですか？<<
②は電位が無限遠と同じ0になる所ですから、電荷qが停止する座標として利用できます。

>>無限遠点の電位は０と考えているのは過ちではないでしょうか？<<
過ちではない。
電位の基準の決め方は任意ですから、基準をどの地点にとり、どういう値に取ろうと関係ない（計算に都合の良いよう
にとるだけ）。物理で意味があるのは電位差だけ。

この回答へのお礼

回答をありがとうございます；）

＞①と②で得られた結果が違うのは、一体なぜですか？→つまり：同じ点Bを考えてこの二つ：①F1=F2と②V1＋V2=０を用いてrを計算したのに、結果が違うのはなぜ？
という質問でした。①と②の条件は同時に満たされるべきだと思ったからです。

第②の質問は、別の解法がありませんか？という意味でしたxp

お礼日時：2019/07/02 04:01

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/07/02 07:26

1.

結果を見て勘違いしました。
B点の定義は②です。①は電界が0になる地点で、電位が0となる地点とは違うので、異なっても当然です。
電位が0だと電界も0になるという法則はありません（ちなみに、①の電位はr=dを電位の式に入れれば
この地点の電位が0でないことはすぐわかります）。

2.
なお、v=sqrt(2kQq/md)　の求め方がわからないのですが、
電位が最小となる地点でqの速度は最大になりますので V=kQ{-4/(x+d)+1/x} を微分して V'=0 で求め
られます。この時の電位Vmとすると qVm=mv²/2 からvが求まる。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/02 15:13

座標 (x, 0) (x>0) における電場は

Ａの作る電場：Ea = k(-4Q)/(x + d)^2
Ｏの作る電場：Eo = kQ/x^2
の重ね合わせで
　E(x) = Ea + Eo = kQ[ 1/x^2 - 4/(x + d)^2 ]　　　　　　(a)
　　　= kQ{(x^2 + 2dx + d^2 - 4x^2)/[x^2 *(x + d)^2] }
　　　= -kQ{(3x^2 - 2dx - d^2)/[x^2 *(x + d)^2] }
　　　= -kQ(3x + d)(x - d)/[x^2 *(x + d)^2]　　　　　　(a')
ということになります。

これは、分子分母を x^2 で割れば
　E(x) = -kQ(3 + d/x)(1 - d/x)/(x + d)^2
ですから、当然ながら
　x → ∞ のとき E(x) → 0
になります。

E(x) = 0 になるのは x>0 の範囲では x=d のときで、
・d<x では E(x) < 0
・0 < x < d では E(x) > 0
従って、点電荷Ｐが受ける力は F=qE より
・d<x では F < 0　（Ｏに向かって加速）
・0 < x < d では F > 0　（Ｏに向かって減速）
ということになります。
つまり、x=d で最大速度になります。

では、x での電位はどうなるかというと、
　V(x) = ∫[∞→x]E(r)dr = kQ∫[∞→x][ 1/r^2 - 4/(r + d)^2 ]dr
　　　= kQ[-1/r + 4/(r + d)][∞→x]
　　　= kQ[ 1/x - 4/(x + d)]　　　　　　　(b)

x=d における運動エネルギーが、無限遠とこの点の静電エネルギーの差に等しいので
　(1/2)m(Vd)^2 = 0 - q*V(d) = -kQq[ 1/d - 4/(2d)] = kQq/d
→　(Vd)^2 = 2kQq/md
→　Vd = -√(2kQq/md)
「速さ」としては
　|Vd| = √(2kQq/md)


＞一番目に：①と②で得られた結果が違うのは、一体なぜですか？

#1&2 さんがおっしゃっているとおり、①は「電場の大きさがゼロになる点」、②は「電位が無限遠と同じ(=0)になる点」なので、意味が違うからです。
電場の大きさは電位の「傾き」ですから、①は電位が極値をとる点（ここでは極小値）ということであって、電位がゼロということとは違います。
つまり①は「Ｂ点」ではありません。


＞なぜ：この②「正のx軸上で電位が無限遠点と等しくなる点Bで原点Oにもっとも接近した」がここで働かないのか？（qΔV=ΔEkかつΔV＝０→ΔEk＝０となるから　）

上の電位の求め方では (b) のように「無限遠（電位ゼロ）→ r=x まで」で積分しましたが、「正のx軸上で電位が無限遠点と等しくなる点Bで原点Oにもっとも接近した」で r=d/3 が求まっているのであれば、そこで電荷が静止したのだから、電荷に働く力が「x=d ～ d/3」にした仕事が x=d での運動エネルギーに等しいということになります。
これを使って計算すれば、電荷に働く力が「x=d ～ d/3」にした仕事は、(a) を使って
　F(x) = q*E(x) = kQq[ 1/x^2 - 4/(x + d)^2 ]
より
　W = ∫[d→d/3]kQq[ 1/x^2 - 4/(x + d)^2 ]dx
　　= kQq[-1/r + 4/(r + d)][d→d/3]
　　= kQq{ -3/d + 4/[(4/3)d] - [-1/d + 4/(2d) ] }
　　= kQq( -3/d + 3/d + 1/d - 2/d )
　　= kQq/d
これが x=d における運動エネルギーに等しいので
　(1/2)m(Vd)^2 = kQq/d
より
　Vd = -√(2kQq/md)
と同じ結果が得られます。

つまり「②を使わない」のではなく、「②を使っても同じ結果が得られる」ということです。


＞無限遠点の電位は０と考えているのは過ちではないでしょうか？

ここでは、無限遠からもって来るにしても、x=d/3 からもって行くにしても、いずれも「電荷に働く力のした仕事」として「電位差」（あるいは静電エネルギーの差）しか考えていませんので、「ゼロかどうか」は本質的な話ではありません。
ただし、電場の大きさを「1/r^2」の関数、電位を「1/r」の関数で表している段階で、「暗黙のうちに r→∞ のときゼロ」を前提にしています。

この回答へのお礼

とても詳しいご解説をありがとうございます〜
いつも勉強になります；）

お礼日時：2019/07/06 21:14

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/07/03 08:31

ク-ロンカというのは電位の空間微分×(-1)×電荷量なんだが

つまり、あなたは、グラフの傾きが0のところは値も0になると言っている。

微分とか保存力とか知らないとわからないかもしれないが

要は、クーロン力=0と電位=0は全く別もの。
一緒と考えたのはあなたの勘違いです。