斜方投射の空気抵抗

大学で斜方投射の空気抵抗F（v^2に比例する）を考えるとき、F = kv^2 (kは空気抵抗係数）ではなくF = kvvx (vxはx方向の速度）と表すのが正しいと聞きましたがなぜこのようになるのでしょうか。

No.1 回答者： drmuraberg 回答日時： 2019/07/23 20:19

気になって見ていましたが、回答が付かないようなので、敢えて回答します。

＜F = kvvx (vxはx方向の速度）と表すのが正しいと聞きました＞は正確でしょうか？
F = kvvx は F = kv*vx の事でしょうか？Fはスカラーでしょうかベクトルでしょうか？

空気抵抗Fは、一般的にはベクトル量F↑です。
XY平面内で運動する、質量ｍでその投射点からの位置がベクトルr↑で表される、
質点がその速度ｖ↑に比例する抵抗を受ける時に加わる力F↑は、投射点を（０,０）と
すれば
　F↑= (0,-mg) - k(dr↑/dt)

ベクトルの成分表示では（F=m*dv/dtを考慮する)
　Fx= - k*dx/dt
Fy= - mg - k*dy/dt

この質点のニュトンの運動方程式は
m*d^2x/dt^2 = - k*dx/dt
m*d^2y/dt^2 = - mg - k*dy/dt
となります。

この微分方程式は解析的に解けます。


さて問題はここからです。F = kv^2　はスカラーかベクトルかという疑問です。
　F↑ = k*（v↑)^2 で右辺がベクトルの２乗ならば、内積ですからスカラ‐量と
なり、ベクトル量＝スカラー量となり矛盾が生じます。
　F↑ = k*(vx^2,vy^2) と定義されているなら
　F↑＝ k*((dx/dt)^2,(dy/dt)^2)
となります。
F↑の代わりに、その絶対値Fを考えると
　F = k√(vx^4 + vy^4) = k√(v^2 -2vx^2*vy^2)
となります。F= kvvx とはなりません。

気になる点は、vx=v*cosθ （θは投射点とX軸の成す角）である点を考えると
　F = kv*vx = k*v^2*cosθ となり
あたかも、v^2のX軸成分だけを考慮すれば良いと言っている様にも見えます。