この問題の解き方を教えてほしいです。

この問題の解き方を教えてほしいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/07/27 21:14

電流源を直流 I=1[A] とする。

qをCの電荷とする。
(1)
iL+ir+ic=I・・・・・・・①
LdiL/dt=q/C=Rir・・・・②
ic=dq/dt・・・・・・・・③

(2)
(2_a)
「過渡現象のお約束、Cの電圧とLの電流は連続」から、t=0 で、Lの元の電流は0だから
iL=0、元のCの電圧は0だから、q/C=0 なので、②から ir=0、すると①から ic=I

(2_b)
t=∞のときの値を簡便法によって求める。回路にはRがあるから振動項があっても減衰し、
定常状態（直流）になる。すると ic=0、LdiL/dt=0 だから、②から、ir=0、すると、①
から、iL=Iとなる。

このことを微分方程式を解いても求めてみる。「'」を時間微分とする。①を微分すると
iL'+ir'+ic=0 となり、これに②③を入れると　q/(LC)+q'/(RC)+q''=0
この方程式の解は、３種類あるが、振動があってもすべて減衰し、定常状態になることが
分かっているので、上に述べた論法が成立する。

特性方程式 D²+(1/RC)D+1/LC=0 を解くと、D=[-1/RC±√{1/(RC)²-4/(LC)}]/2
となり、1つの場合だけ解いてみる。

(2_c) (RC)²-4/(LC)}>0 のとき
このとき、p₁=[1/RC+√{1/(RC)²-4/(LC)}]/2 , p₂=[1/RC-√{1/(RC)²-4/(LC)}]/2
とすると(p₁,p₂>0)
q=Aexp(-p₁t)+Bexp(-p₂t)
が解となる。(2_a)の初期条件から、q(0)=0 なので、A=-Bとなる。つまり

q=A{exp(-p₁t)-exp(-p₂t)}
を得る。

②から、ir=q/(RC)=A{exp(-p₁t)-exp(-p₂t)}/RC　だから、ir(∞)=0
③から、ic=q'=-A{p₁exp(-p₁t)-p₂exp(-p₂t)}　なので、ic(∞)=0
また、初期条件から、I=ic(0)=-A(p₁-p₂) → A=I/(p₂-p₁)・・・・・④

②から、iL=(1/LC)∫qdt=(1/LC)(-A){exp(-p₁t)/p₁-exp(-p₂t)/p₂}+k・・・・⑤
iL(0)=0 だから、0=-(A/LC)(1/p₁-1/p₂)+k → k=(A/LC)(p₂-p₁)/(p₁p₂)・・・⑥

ここで、p₁p₂=[1/(RC)²-{1/(RC)²-4/(LC)}]/4=1/LC
これと、➃を⑥に入れると　k=I

以上のことから、⑤を書き換えると
iL(∞)=k=I
となり、(2_b)の結果が得られる。

この回答へのお礼

q(t)、i(t)の式まで教えていただきありがとうございます。電流源の微分方程式立てたことなかったのでとても参考になりました。

お礼日時：2019/07/29 13:32