三角関数の加法定理に関してなのですが、 cosや sinの加法定理は座標ではなく長さ(常に正)や変化

三角関数の加法定理に関してなのですが、
cosや sinの加法定理は座標ではなく長さ(常に正)や変化量(正や負の値)を知るための公式なのでしょうか？
だとしたら、cosや sinの加法定理の公式に代入する情報は座標ではなく長さや変化量のみになるのでしょうか？
長さを求めるにしても、変化量の場合は答えが負になることはありますが。

そしてtan の加法定理は傾きを求めると思うので座標ではなく、 cosθや sinθの長さの変化量を求めるための式なのでしょうか？

三角関数を再び勉強しているのですが、この cos, sin,tanは座標を求めるのか、長さや変化量を求める式なのか混乱しました。

質問者からの補足コメント

• showさん、ありがとうございます。
  疑問があります。
  加法定理は長さから作られた公式です。なので代入する変数も正の値(長さ)でなければならないと思うのですが、
  なぜ画像の問題は負の値の変数があるのでしょうか？負の値の長さは存在しないと思います。
  どうかよろしくお願いします。

  
    補足日時：2019/07/30 16:10

No.5 ベストアンサー 回答者： きたかぜ09 回答日時： 2019/08/05 23:39

sinやcosはそれを作用させるものの一方向への投射だと私は考えました。

物理の円運動と単振動の関係のような。なので、加法定理はあくまで書き換えが出来ると考え、意味は元の方にあると考えます。

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/08/05 21:55

cosや sin、座標、長さなどをどうとらえるか。

一番のおすすめは、正しい理論による数の分類です。
あなたの質問は、(５)以下で答えが出るので、(１)から順に読んで下さい。
(１)計算できる数(かず)は数(すう)と量の二つに分類されます。
(２)数(すう)は自由に計算できるが、量は自由ではありません。量は単位が付いているかずです。単位が違う二つの量は、例えば５ｍと１ｓは、たしたり引いたりできません。掛け算や割り算はできます。たとえば５ｍ÷１ｓ＝5m/sは速度です。
単位が付いているのかいないのか、わからないときは、一括りに数量といってごまかすこともある。
(３)数は、単位の付いてないことを強調するとき、無名数という。
(４)数は、初めは、個数を、ひとつ、ふたつと数えるものとして、発明された。これを自然数という。
このとき、３から５は引けないので、自由に計算できなかった。マイナスの数が発明されて、引き算は自由にできるようになり、３－５=－２となった。７÷２＝３余り１という計算は、分数が発明されて、7/2となった。これで、有理数ができた。小数と無理数が発明されて√2≒1.414となった。これで、実数が完成した。
(５) cosθや sinθは無名数だから、自由に計算ができて、長さかどうかということは、気にしなくてもよいことになっている。計算ができない場合は、(４)で述べたように、計算規則の方を改良して、計算できるようにするのが、正しい理論の方法として発展してきたのです。小中学校で、分数やマイナスの計算方法を習ったのもそのためです。
だから、座標か長さか角度かを気にしなくてよいという方向が正しい解決方法です。
座標か長さか角度かを議論する必要はなく、すべてが数で、自由に計算ができる。
(６)しかし、長さを単位なしの無名数としたときは、マイナスの長さを認めることにする。これにより、座標と長さの区別は無くなり、両方とも数であるから自由に計算できる。すると、実数の全体は、x軸と同じ一本の直線になり、－∞から∞の間の数となる。
実数の全体を数直線という。x軸の座標は、数直線と同じもので、y座標も数直線です。図１参照。
(７)角度は、例えば、直角は90°だが、弧度法を使うと90°=π/2と換算ができる。
だから90°+π/2=πとなり、単位が異なっていても、たし算ができる。
弧度法の角度は図2に示す単位円の円周の長さです。
図の点P(cosθ，sinθ)の角度θは円弧APの長さ(赤い線の長さ)です。
円弧の長さθは(５)に述べたように、数だから自由に計算できる。
θは－∞から∞の間の数だから、x軸の座標と同じ数だから自由に計算できる。
(８) cosθ，sinθはマクローリン展開すれば次の級数になる。
sinθ=∑[k=0~∞](−1)^k･θ^(2k+1)/(2k+1)!=θ−θ³/6+θ⁵/120−⋯
cosθ=∑[k=0~∞](−1)^k･θ^(2k)/(2k)!=1−θ²/2+θ⁴/24−⋯
だから、cosθ，sinθは数で、自由に計算できる。
展開式の中のθ²やθ³は、θ²=90°×90°のような、角度の掛け算だが、弧度法の角度は数だから、気にしないで計算できる。
(９)さらに√(－1)を自由に計算するために、複素数が発明された。これにより
ガウスは、n次方程式はかならずn個の根を持つことを証明した。これを代数学の基本定理という。これで、数の拡張は一段落した。その先はベクトル空間などになる。
(10)数式を文字で表して計算する数学を代数学という。
例えば、x座標がx＝－３のＡ点とx=５のB点があるとき、a=－3，b=5と書くと、代数学では、長さのプラスマイナスを気にしないで、B点とA点の差はb－a=8となる。長さは全部プラスという規則にこだわると、A点は左向きにa=3、B点は右向きにb=5となるので、B点とA点の差はb+a＝8となる。式はb－aとb+aの二つが出てきて、a，bの文字だけ見ても、プラスかマイナスか判定できないので、どちらの式を使うべきか分からない。文字を使う計算は成り立たなくなる。長さ，座標，角度を区別していて気にすると、文字を使う計算はできない。代数学を勉強する人は、この原理を理解していなければいけない。
(11)No.2、No.3の投稿の方も、座標か長さか角度かを気にしなくて、自由に計算せよというご趣旨と思います。

No.3 回答者： mide 回答日時： 2019/07/30 18:50

三角関数の定義にはいろいろありますが，三角形の辺どうしの比でなく単位円上の点の原点からのX軸との角度に対しX座標をcos，Y座標をsinと考える定義を最初から使えばそういうことに悩まなくてすむのにと思います。

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/07/30 16:41

ご提示の問題は基本的には、演算の練習ととらえたほうが良いと思いますが、、、

加法定理を使って、cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβとし、
あとは、sinβやcosα　がなになるかを考え、代入していくという話です。

数学的な理解をしたいという話であるなら、象限という言葉が出てくる時点でこれは座標上の話です。
なので、マイナスにもなります。　実際そうならないと後から、角度を限定した範囲の論理になってしまい。
非常に使いにくいものになってしまいます。

（加法定理の）証明はこんな感じです。　
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sanka …

これは、いわゆる理論の部分です。
本来は、ここからやるのが数学としては筋です。

この回答へのお礼

なるほど、ありがとうございます。
では、図形的に解くとしても象限で考えるのが加法定理であるため
長さではなく、座標を使うため負の値も入るのですね。

ですが、象限を考慮して負の値を考慮するとは、三角関数の加法定理は単純に長さを求める式ではなく、現象による座標を利用して何を求めようとしたのでしょうか？

お礼日時：2019/07/30 16:56

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/07/30 16:05

三角関数は直角三角形における角度と辺の長さの比率を表すものです。

現実世界でも、（対角線の長さを知りたいときなど）よく使われます。

加法定理は三角形をつけ足したときにどういうことが起きるかということを数学的に表してみただけですが・・・
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sanka …

加法定理などは、普通の生活をしていると現実的にそれを使う機会はあまりないかもしれませんが、数学の論理や演算の勉強をしていく過程としては、ちょうどよい程度の内容なので、やるのが一般的となっています。