空間ベクトルの移動についてわからない問題があります

下図の立方体ABCD－EFGHにおいて、向きのついた辺ベクトルABを向きのついた辺ベクトルGCに移す回転を表す行列を求めてください。という問題でM(BCHE)の行列をどのように求めるのかがわかりません。

途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。
解答には
0...0...-1
0...-1...0
-1...0...0
解説には「辺BCの中点をN、辺EHの中点をLとすると、鏡映Mxzの鏡映面とM(BCHE)の鏡映面の交わり、すなわちxz平面とBCHEの交わりはLNなので、LNを軸とする180°回転である事がわかります。よって
Mxz・M(BCHE)=
1...0...0
0...-1...0
0...0...1
×
0...0...-1
0...1...0
-1...0...0
=
0...0...-1
0...-1...0
-1...0...0
と書かれています。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2014/02/12 17:35

>M(BCHE)の行列をどのように求めるのかがわかりません。

鏡映面BCHEに対して
点A(1,1,1)を対称移動した点が点F(-1,1,-1)
点B(-1,1,1)を対称移動した点が点B(-1,1,1)
点C(-1,-1,1)を対称移動した点が点C(-1,-1,1)
点D(1,-1,1)を対称移動した点が点G(-1,-1,-1)
という条件から、
A→F
[a...b...c][1].[-1]
[d...e...f][1]=[.1]
[g...h...i][1].[-1]

B→B
[a...b...c][-1].[-1]
[d...e...f][.1]=[.1]
[g...h...i][.1].[.1]

C→C
[a...b...c][-1].[-1]
[d...e...f][-1]=[-1]
[g...h...i][.1].[.1]

D→G
[a...b...c][.1].[-1]
[d...e...f][-1]=[-1]
[g...h...i][.1].[-1]

以上の行列表現を順に式に書き下すと以下のようになります。ただし、従属な式も含まれますので一次独立な式のみ残し、従属な式は省略します。

a+b+c=-1, d+e+f=1, g+h+i=-1
-a+b+c=-1,-d+e+f=1,-g+h+i=1
-a-b+c=-1,-d-e+f=-1
g-h+i=-1

連立方程式を解くと
a=0,b=0,c=-1,d=0,e=1,f=0,g=-1,h=0,i=0

∴M(BCHE)=
[.0...0...-1]
[.0...1....0]
[-1...0....0]

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/02/12 10:49

＞点Aと点Gは原点Oに対して対称の位置にあり、点Bと点Cは

点Nに対して対称の位置にあるので、ベクトルAB(以下↑AB)
を直線ON(=直線NL)を軸に180°回転させると↑GCになります。
この↑ABの移動を2回に分けると、↑ABのxz面での鏡映が
↑DCであり、↑DCのBCHE面での鏡映が↑GCになります。
xz面での鏡映はx座標z座標は変わらずy座標の符号が変わる
だけなので、xz面での鏡映を得る行列は(1行、2行、3行)の形
で書くと、(1,0,0、0,-1,0、0,0,1)になります。
BCHE面での鏡映はz座標が符号を変えてx座標に、x座標が符号
を変えてz座標に変わるので(y座標はそのまま)、行列は
(0,0,-1、0,1,0、-1,0,0)になります。
従って、この2回の移動を表す行列は
(1,0,0、0,-1,0、0,0,1)×(0,0,-1、0,1,0、-1,0,0)
=(0,0,-1、0,-1,0,、-1,0,0)になります。
検証すると、↑AB=↑OB-↑OA=↑(-2,0,0)だから
↑(-2,0,0)×(0,0,-1、0,-1,0,、-1,0,0)=↑(0,0,2)
↑GC=↑OC-↑OG=↑(0,0,2)
よって確かに↑ABは↑GCに変換されています。