一般線形体は存在するか？

教えて下さい。
物理や数学で一般線形群（GLn）はよく出てきますが、一般線形体ってのはググっても出てきませんね。
なぜでしょー。
存在しないからでしょーか？

質問者からの補足コメント

• 「可換なn次正則行列全体は一般線形体を構成する」
  のではありませんか？
  
  さらに、
  「可換なn次正則行列全体とは、要は同じ固有ベクトルをもつn次正則行列のこと」
  ではありませんか？

    補足日時：2019/09/12 09:54

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/12 13:42

一般線形群が通常の行列和によって環であって、それの

正則行列からなる可換な部分環は体である
というのは正しいけれど...

「一般線形体」と名付けないのは、その体だと
あまり「一般」という感じがしないからじゃないの？

「一般線形群」は、ある線型空間上の全ての線型変換を
集めてあるから「一般」なのだろうし。

この回答へのお礼

この場合、「一般」の実質的意味は同じ固有ベクトルを共有する行列の集まりと考えれば十分に「一般」と命名してよいのではありませんか？
またこのよーな行列は物理的にも数学的にも重要な意味を持つので「一般線形体」と命名するのは極めて妥当なことではありませんか？

お礼日時：2019/09/12 14:33

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/09/16 05:45

A

=
(2,1)
(1,2)

B
=
(1,2)
(2,1)

とすると

AB=
(2,1)(1,2)=(4,5)
(1,2)(2,1)=(5,4)

BA=
(1,2)(2,1)=(4,5)
(2,1)(1,2)=(5,4)

AとBの積は可換で
同じ固有ベクトルを共有する正則行列ですが

その和

A+B
=
(3,3)
(3,3)

は正則ではありません

互いに可換なn次正則行列の全体は
零0行列を加えたとしても
加法に関して閉じていないので
体になりません

体にならないのだから

一般線形体と呼ぶことはできません

No.5 回答者： rinkun 回答日時： 2019/09/15 22:17

> 可換なn次正則行列全体

これって一意に定まりませんよね。定義を再考することをお勧めします。
あと、そもそも一般線形群は、行列の積演算で群をなしますが行列の加法で閉じていないので環ですらありません。

一般的に言って体K上の有限次元多元体というのは思いのほかに条件が厳しく、少なくとも実数体Rや複素数体Cのようなよく知られた体上の多元体はごく限られた次数のものしか存在しません。例えば
> 実数体上有限次元の多元体は
> ・それが「単位的かつ可換」（もしくは「結合的かつ可換」）ならば実数体 R または複素数体 C に同型、
> ・それが「非可換かつ結合的」ならば四元数体 H に同型、
> ・それが「非結合的だが交代的」ならば八元数体 O に同型
> のいずれかでなければならない。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83 …

この回答へのお礼

＞そもそも一般線形群は、行列の積演算で群をなしますが行列の加法で閉じていないので環ですらありません。

加法を考える場合は零行列を含めるのが数学の常識です。
正則行列U零行列は加法において閉じているので環です。
一般線形環（GLRｎ）と考えればよいでしょー。

お礼日時：2019/09/17 03:48

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/13 18:39

＞体が備えていて群に欠けているものは何か？

＞それは１）乗法における逆元が存在しないこと、２）乗法の可換性がないことである。

加法も欠けているよね。一般線型群は行列環の加法で閉じていない。
行列環の可換部分環が体であるのは正解だけど、
それを「一般線形体」と呼ぶかどうかは、貴方がググッて知ったとおりだ。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/13 09:13

No.1 は Mat と GL がゴッチャになってるので、訂正します。

行列環 Mat は非可換環だが、GL はその乗法群であって、加法閉でない。
Mat の可換な部分環は、元が GL の元または零行列になっていて、体である。
GL を「一般」線型群と呼ぶのは、「特殊」線型群 SL との対比による。
SL は、GL の元のうち行列式の値が 1 のものだけを集めたもの。

質問自体については、No.2 で変わりない。

この回答へのお礼

体が備えていて群に欠けているものは何か？
それは１）乗法における逆元が存在しないこと、２）乗法の可換性がないことである。
そこで正則行列に限れば１）は解消されるが、２）は解消されない。
２）を解消するためｎ次正則行列が備えるべき必要十分条件は一般の線形代数の教科書にはあまり登場しないが、それはｎ次正則行列が同じｎ次元固有ベクトルを共有することである。
そしてこの段階で一般線形群は一般線形体に昇格するのである。

お礼日時：2019/09/13 13:00

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/12 15:03

＞「一般」の実質的意味は同じ固有ベクトルを共有する行列の集まりと考えれば

＞十分に「一般」と命名してよいのではありませんか？

そのように感じない人が多かったから、現在のようになっているということでしょう。
言葉の選び方は、理屈じゃなく、感じ方の問題だからね。