対称行列の対角化

次の対称行列に対し、対角化行列Pとして直行行列であるものを選び、それを用いて対角化せよ。

(3 2 4)
(2 0 2)
(4 2 3)

固有値 固有ベクトルを求めることができましたが、直行行列Pが求められません。

質問者からの補足コメント

• 直行行列は、転置行列と逆行列が等しくなる行列ですよね。固有値の１つの(-1)が重複したので、シュミットの直交化法を用いて求めてみたんですが、答えと一致しませんでした。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/06/01 21:03

• 固有値　-1　に対する固有ベクトルの取り方はかなり自由にできる。
  →私もPが同じように求まりました。私の答えも 正解の１つだと分かって安心しました。
  しかし、解答でPは
  P=1/3
  ( 2 1 2)
  (-2 2 1)
  (-1 -2 2)
  となっていました。私はどのようにしてももこの形に出来ません。Pをこの形にすることは可能ですか？

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/06/02 02:29

No.5 ベストアンサー 回答者： uyama33 回答日時： 2016/06/02 07:39

P=1/3

( 2 1 2)
(-2 2 1)
(-1 -2 2)
ですが、
固有値　-1　に対する固有ベクトルが
( 2 )
(-2 )
(-1 )
と
( 1 )
( 2 )
(-2)
です。
これらは直交します。
固有値８に対する固有ベクトルが
( 2)
( 1)
( 2)

なお、　-1　に対する固有ベクトルは

3a+2b+4c=-a
の解として
a=2
b=-2
c=-1
や
a=1
b=2
c=-2
がとれます。
これらは全て大きさが3で答えがきれいになります。

この回答へのお礼

理解できました。ありがとうございました！

お礼日時：2016/06/02 09:25

No.4 回答者： uyama33 回答日時： 2016/06/02 00:25

P=

(2/3 　 　0 　(√5)/3 )
(1/3　 -2/√5 -2/(3√5) )
(2/3　　1/√5 -4/(3√5) )

も解のひとつ。
ほかのPでも、直行行列であり、（P^-1)AP
で対角化できる。

Pには、いろいろある。
固有ベクトルの成分の符号を変えたもの、
固有値　-1　に対する固有ベクトルの取り方はかなり自由にできる。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/06/02 00:00

>「異なる固有値に属する」固有ベクトル同士は勝手に

>直交するんだけど....

確かに勇み足でした(^-^; 重複固有値が
有りますね。

>シュミットの直交化法を用いて求めてみたんですが、
>答えと一致しませんでした。

-1の固有ベクトル空間は2次元で、2個の直交基底の取り方は
無限に有ります。Pで対角化できるかテストして
8、-1、-1が対角に出てくればOKです。

この回答へのお礼

参考になりました。ありがとうございます！

お礼日時：2016/06/02 09:24

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/06/01 18:05

ここでは P に「直交行列」 (not 直行行列) という条件が付いていますが, 「直交行列でなくてもいい」なら P を求めることはできますか? あと, 「直交行列」がどのようなものかはわかりますか?

これらがわかっていれば, P を構成するためにどのような固有ベクトルが必要であるかわかるはずですよ.

「勝手に直交しているので、直交化は不要」は勇み足じゃないかな～＞#1. 確かに「異なる固有値に属する」固有ベクトル同士は勝手に直交するんだけど....

この回答へのお礼

参考になりました。ありがとうございます！

お礼日時：2016/06/02 09:23

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/06/01 13:34

直交行列というご指定なら、

固有ベクトルを規格化して並べるだけです。
勝手に直交しているので、直交化は不要。

また本来Pに規格化は不要なので、対角化が目的なら
固有ベクトル並べるだけで充分。