∫x³/√{x²+1}dxをx=sinhtと置換して求める事は出来るでしょうか？出来るならば計算を教

∫x³/√{x²+1}dxをx=sinhtと置換して求める事は出来るでしょうか？出来るならば計算を教えて下さい。

No.2 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/11/14 15:25

ん?

素直に x=tanθ (-π/2<θ<π/2) とおけばいいんでないかい?
x=tanθ
dx=sec²θdθ
また cosθは この範囲で正である。
∫x³/√{x²+1}dx
=∫tan³θ/√{tan²θ+1} sec²dθ
=∫tanθsin²θdθ
=∫tanθ(1-cos²θ)dθ
=∫{tanθ-1/2 sin2θ}dθ
=log|secθ|+1/2 cos²θ+C
=log√(x²+1) +1/2(x²+1) +C

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/11/13 22:35

一応計算してみた。

x=sinhtとすると、
dx=cosht dt

∫(x^3/√(x^2 + 1))dx
=∫((sinht)^3/cosht)cosht dt
=∫(sinht)^3 dt
=∫(sinht)((cosht)^2 - 1) dt

u=coshtとすると
du=sinht dt

=∫(u^2 - 1) du
=(1/3)u^3 - u + C
=(1/3)(cosht)^3 - (cosht) + C
=±((1/3)(1+(sinht)^2)^(3/2) - (1+(sinht)^2)^(1/2)) + C
=±((1/3)(1+x^2)^(3/2) - (1+x^2)^(1/2)) + C（Cは積分定数）