行列

直交行列の行列式は1、-1ですが
この逆即ち行列式は1、-1ならばその行列は直交行列ですか
ご回答をお願いします

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2019/12/30 02:20

#1です。

どうやら、思い描いている「直交」の意味が違うようなので、私は降ります。

タコさん先生、あとは宜しくお願いします。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2019/12/29 10:30

#1です。

訂正させて下さい。すみません。

直交行列になるには、各列を中心化した（＝重心を0にした）とき、任意の２列間の内積が０であれば良いわけです。

直交条件は、元の行列に対して各列を中心化したXを用意して、クロス・プロダクト行列あるいは内積行列と言われるXTXをとったとき、右下がり対角成分の各要素以外が０になることです（アダマールら）。

そのとき、det(XTX)＝1となります。また、det(XTX)≒1になるような行列を探し出せば、直交に近い配列を作ることができます。実験計画法に、D最適計画というのがありますが、乱数生成しながらdet(XTX)が最大になるものを探し出すと言うアルゴリズムで生成しています。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2019/12/29 00:35

#1です。

そうか。正定値の場合だけか。
すみません。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/12/28 23:26

「直交行列」は「転置をとっても変わらない」という定義の方が普通のような気もするけどなぁ....

そしてもちろん行列式の値が 1 (や -1) だとしても, 直交行列とは限らない.

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2019/12/28 23:01

企業でSQCを推進する立場にある者です。

博士（工学）です。

「直交行列の行列式は」は間違っていますよ。常に正方行列とは限りません。
直交行列Xがあったとして、Xがm×n行列であると行列式は計算できません。

一般に、Tは転置を表すとすると、直交条件はXTXが単位行列のn倍になることです。よって、det(XTX)が１になります。
rank(X)＝rank(XTX)＝rank(XXT)です。

なお、普通は奇置換は考えないので、行列式＝１で良いと思います。

そのうえで、定義の逆、det(XTX)＝1のとき、Xは直交行列になります。証明は特異値分解というものを使います。説明は回りくどくなるので許して下さい。

この回答へのお礼

(∂/∂r)=(cosθ,sinθ)(∂/∂x)
(∂/∂θ)=(-rsinθ,rcosθ)(∂/∂y)
上記の行列2*2行列を
(∂/∂x)
(∂/∂y)
を左辺にするために
(cosθ,sinθ)
(-sinθ,cosθ)が直交行列ならば転置を取ると簡単なために
(cosθ,sinθ)
(-sinθ,cosθ)が直交行列であってほしいため

質問は行列式は1,-1は直交行列以外ではすぐに転置が取れないので質問しました

お礼日時：2019/12/29 23:16