x+a*ln(x)=b の解を教えてください。

次式のxの解についてご教示願います。

x+a*ln(x)=b

a、bはともに定数(a>0, b>0)です。
なお、LambertのW関数が解法に関与してくるのではないかと思われますが、この関数を理解できていない（数３の入り口ていどの）数学力ですので、できれば平易な解説をお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/30 13:15

ランベルトのW関数って、w = W(z) ⇔ z = we^w ってやつです。

右の式の対数をとると lｎ z = lｎ w + w となって、問題の式と似ているでしょう？
あとは、係数を調整します。
与式を b/a = ln x + x/a と変形して見比べると、w = x/a という置換が使えそうです。
代入して ln z = ln x - ln a + x/a となりますから、
b/a = ln z + ln a = ln az であれば同じ式になりますね。
以上をまとめると、
x = aw,
w = W(z),
z = (e^(b/a))/a
ですから、
x = a W( (e^(b/a))/a )
という表示を得ます。

途中の計算で、対数法則
ln AB = ln A + ln B,
ln A^c = c ln A
を使いました。これがひっかかるようなら、教科書を見返してください。

「解ける」でなく「表示を得る」という歯にものが挟まった言い方をしたのは、
W関数の値を計算する方法が無く、数値計算で近似値を出すしかないからです。
そこで数値解法を使うくらいなら、最初から x + a ln x = b を数値解法で近似的に解く
(ニュートン法とか、いろいろありますよね)のとどう違うの？ いう疑問が残りますから。
ま、それを言い出したら、W関数でなくても指数関数や三角関数でも同じこと
ではありますが。

この回答へのお礼

丁寧に教えていただきありがとうございます。
私の能力に合わせて解説していただいたので、ひっかかることなく解法の流れを理解することができました。
とりわけ、与式変形による「w」への置換の勘所が大変勉強になりました。（対数法則の基礎的理解はどうにか腑に落としていますが、）そこらあたりの数学的センス（閃き）によるアプローチが致命的に不得手なので、お尋ねしてよかったです。
なお、ご紹介いただいたニュートン法などの数値解法はこれからじっくり理解してゆきたいと思います。どうもありがとうございました。

お礼日時：2019/12/30 17:09

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/12/30 00:16

具体的になにを知りたいのかわからんけど

一般的な a と b を与えたときに x を求める式がほしい
というなら W を使うのが普通かなぁ. これ自体は, W を理解していなくてもその定義がわかればできる.

数値として a と b から x を求めたいというなら... 数値解法を使うんだろうねぇ.

この回答へのお礼

ご教示ありがとうございます。
お尋ねした式のa、bには具体的な数値があるのですが、一般的な解法のアプローチも知りたかったので文字式にしてお尋ねしたしだいです。
あと、具合的な値による数値解法も不案内なのですが、CASIOの「ke!san」サイトで算出できるようなので、計算結果はこちらで得ようと思っています。

お礼日時：2019/12/30 17:04