No.2ベストアンサー
- 回答日時:
:mmkyさんから参考計算手順まで
x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosθ が正しい。
として,積分範囲は
0≦r≦a
0≦θ≦π
0≦φ≦2π
dx dy dz ⇒ r^2 sinθ dr dθ dφ
∫∫∫{r^2 sinθ dr dθ dφ / (r^2 - 4ar cosθ + 4a^2)}
(∫dφ=2π この項目は他から浮いているので独立にしてよい。)
=2π∫∫r^2 sinθ dr dθ / (r^2 - 4ar cosθ + 4a^2)}
t = cosθ と置いたときの dt = - sinθ dθ 1≧t≧-1 (0≦θ≦πゆえ)
積分範囲の変化に留意のこと。
=2π∫∫-r^2 dr dt / (r^2 - 4art + 4a^2)}
=2π∫∫-r^2 dr dt / (r^2 - 4art + 4a^2)} ---(1)
***** 計算過程
(r^2 - 4art + 4a^2)=A と置けば、dA=-4ardt dt=-dA/4ar
(r^2 - 4ar + 4a^2)≦A≦ (r^2 +4ar + 4a^2) (1≧t≧-1 ゆえ)
∫-dt / (r^2 - 4art + 4a^2) =(1/4ar)∫dA/A=(1/4ar)ln(A)
=(1/4ar){ln(r^2 +4ar + 4a^2)-ln(r^2 - 4ar + 4a^2)}
=(1/4ar){ln(r+2a)^2-ln(r-2a)^2}=(2/4ar){ln|r+2a|-ln|r-2a|}
=(1/2ar){ln|r+2a|-ln|r-2a|}
*****(1)の続き
(1)=2π∫r^2 (1/2ar){ln|r+2a|-ln|r-2a|}dr
=(π/a)∫r{ln|r+2a|-ln|r-2a|}dr ---(2)
**ここまではいいね。**
これからだね。
*****計算過程
0≦r≦a
∫r{ln|r+2a|-ln|r-2a|}dr =∫r{ln(2a+r)-ln(2a-r)}dr
{(|r-2a|=(2a-r)>0 ゆえ}
∫r{ln(2a+r)-ln(2a-r)}dr= ∫rln(2a+r)dr -∫rln(2a-r)}dr
部分積分を使って、
=(1/2){(r^2ln(2a+r))-∫(r^2/2a+r)dr}-(1/2){r^2ln((2a-r)
-∫(r^2/2a-r)dr}
=(1/2){r^2ln(2a+r)-r^2ln((2a-r)}-(1/2){∫(r^2/2a+r)dr
-∫(r^2/2a-r)dr} ・・(前を1項+後を2項としましょう。)(*3)
*****(*3)の2項の計算過程
=-(1/2){∫(r^2/2a+r)dr-∫(r^2/2a-r)dr}
=-(1/2)∫r^2{((2a-r)-(2a+r)/4a^2-r^2}dr
=(1/2)∫{r^2(2r)/(4a^2-r^2)}dr
(4a^2-r^2)=B -2rdr=dB r^2=4a^2-B 4a^2≧B≧3a^2
=(-1/2)∫{4a^2-B/B}dB=(-1/2)∫{4a^2/B)-1}dB
=(-1/2){4a^2ln(B) -B}
0≦r≦a 、4a^2≧B≧3a^2 積分範囲の変化に留意。
=(-1/2){4a^2ln(3a^2) -3a^2-4a^2ln(4a^2) +4a^2}
=(-1/2)a^2{4ln(3a^2) -3-4ln(4a^2) +4}
=(1/2)a^2{-4ln(3a^2)+4ln(4a^2) -1}
(註:ln(3a^2)=ln(3)+ln(a^2) ゆえ)
=(1/2)a^2{-4ln(3) +8ln(2) -1}
******(*3)の1項の計算
=(1/2){r^2ln(2a+r)-r^2ln((2a-r)}
0≦t≦a
=(1/2)a^2{ln(3a)-ln((a)}
=(1/2)a^2{ln(3)}
****
1項+2項
=(1/2)a^2{ln(3)+8ln(2) -4ln(3) -1}
=(1/2)a^2{8ln(2) -3ln(3) -1}
=(1/2)a^2{(8/3)ln(2/3) -1}
****(2)に戻って
(π/a)∫r{ln|r+2a|-ln|r-2a|}dr ---(2)
=(π/a)(1/2)a^2{1+(5/8)ln(3/2)}
=(πa/2){(8/3)ln(2/3) -1}
答え?
なんか答えが違うように思うけど、計算方法の手順の
参考まで、
No.7
- 回答日時:
> 以前のやり方によると体積要素というのが解答にあったのですが、
> まず体積要素っていうのがよくわからなかったです。
が残っていましたね.
前のミスタイプのお詫びにここらへんを少し.
直角座標での体積積分のとき dx dy dz がついていますが,これが体積要素です.
つまり,x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz の間の微小体積で,
これは3辺がそれぞれ dx,dy,dz の直方体になりますから,
体積は dx dy dz です.
じゃあ,極座標にしたら,dr dθ dφ でよいか?
そりゃまずいです.
x, y, z は長さですから(当然dx, dy, dz も長さ) dx dy dz で (長さ)^3 でちゃんと体積になります.
ところが,r は長さですが,θとφは角度(次元なし)ですから,
dr dθ dφ では (長さ)^1 にしかならず,体積にはなりません.
r~r+dr,θ~θ+dθ,φ~φ+dφ の間の微小体積が実は r^2 sinθ dr dθ dφ なのです.
r~r+dr,θ~θ+dθ,φ~φ+dφ の間は近似的に直方体になっていて,
r 方向の辺が dr,θ方向の辺が r dθ,φ方向の辺が r sinθ dφで,
3つ掛けて r^2 sinθ dr dθ dφ になります.
ここでは図が描けませんので,微積の本の多重積分,ベクトル解析の本の直交曲線座標,
物理の電磁気の本,などを探してみてください.
また,google などで「極座標 体積要素」で検索しても図入りのHPがヒットします.
あるいは,計算で押すならヤコビアン(関数行列式)を使う手もあります.
∫dφ=2π の話は mmky さんが No.2 で解説されているとおりです.
∫{r:0→R}∫{θ:0→π}∫{φ:0→2π} r^2 sinθ dr dθ dφ
を計算すると,ちゃんと球の体積 (4/3)πR^3 が出てきますのでお試し下さい.
No.6
- 回答日時:
oshiete_gooです.
siegmund先生にお褒めの言葉をいただき光栄です.
いつも回答では誤りをおかしつつ冷や汗たらたらですが, いい勉強になります.
本件の元の質問についての検算の報告で, mmkyさんご指摘の部分を見落としていて失礼いたしました.
話の主要部分に目が行ってしまって思い込みで読んでいて気づきませんでした(実はありがち?).
質問者さんやmmkyさんのような素直な予断のない目をもった人の方がよく見えたということで, 初心を忘れないmmkyさんに見習いたいと思います.
No.5
- 回答日時:
siegmund です.
mmkyさん:
> x = r sinθ cosφ
> y = r sinθ sinφ
> z = r cosθ が正しい。
ありゃ~,まだミスタイプがありました.
訂正ありがとうございました.
paperkimutaka さん,迷わしちゃって済みませんでした.
oshiete_goo さんの完璧回答で言うことはありません.
> 同じ被積分関数の定積分(*)と(**)は積分区間をつなげることが出来て
のあたりはスマートですね.
mmkyさんの No.2,どこで誤ったか全部チェックしている時間がないのですが,
結果が誤っていることは即座に見えます.
もともとの被積分関数は積分領域内で至るところ正ですが,
mmky さんの結果は負になっています
(2/3 < 1 から,ln(2/3)<0 なので).
したがってどこかにミスがあることはすぐにわかります.
mmkyさん,批評がましくて失礼しました.
No.4
- 回答日時:
mmkyさんです。
oshiete_gooさん、回答ありがとう。
質問者さんへ、数学は、結果は大切ですが、それまでの過程も大切ですから、わからない時は、素直に何度でも書き込めばいいんですよ。
ただね、siegmundさんのおしゃるように考えた過程を書いておくと、皆さんが回答しやすいのですね。再度問うということは、十分努力しているんだから努力の姿をみせないといけないね。
mmkyさんがあえて示したように駄作でもいいんですよ。
答えがまるで違ったっていいんですよ。
そうすると、ここから違うとよ」という風に教えていただけると思うんです。
参考の参考まで
No.3
- 回答日時:
にある, siegmund先生の示された方針に従い,またmmkyさんのご尽力に敬意を表しつつ,後半の参考別解を示します.
(与式)=(π/a)∫_{0→a}r{ln|r+2a|-ln|r-2a|}dr ---[mmkyさんの(2)式に相当]
=(π/a)∫_{0→a}r{ln(2a+r)-ln(2a-r)}dr ・・・(@)[絶対値を外した]
=(π/a)(I1+I2)
ただし
I1=∫_{0→a}r・ln(2a+r)dr
I2=∫_{0→a}{-r・ln(2a-r)}dr
とする.
I1で2a+r=Xと置くと,dr=dX, r=0のときX=2a, r=aのときX=3aで
I1=∫_{2a→3a}(X-2a)lnXdX ・・・(*)
I2で2a-r=Yと置くと,-dr=dY, r=0のときY=2a, r=aのときY=aで
I2=∫_{2a→a}(2a-Y)lnYdY
=∫_{a→2a}(Y-2a)lnYdY・・・(**) [積分区間の上端下端の交換]
すると同じ被積分関数の定積分(*)と(**)は積分区間をつなげることが出来て,まとめて
I1+I2
=∫_{a→3a}(X-2a)lnXdX
=[(X^2/2-2aX)lnX]_{a→3a}-∫_{a→3a}(X/2-2a)dX [部分積分]
=[(X^2/2-2aX)lnX-(X^2/4-2aX)]_{a→3a}
以降,代入して全体がa^2で括れることと,ln(3a)=ln(3)+ln(a) と分解して結局ln(a)の項が消えることに注意すると,
[補足:実はこの2点は(@)の式で次元を考えるか,積分変数の無次元化を行うかすれば最初から一目で分かる.]
I1+I2=a^2{2-(3/2)ln(3)}
となり,結局
(与式)=(π/a)(I1+I2)=2πa{1-(3/4)ln(3)}
の通り,siegmund先生が最初におっしゃった結果が得られます.
参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=384979
No.1
- 回答日時:
#384979 の続編と思いますが,
先の私の回答(+oshiete_goo さんのご注意)でほとんど尽きています.
具体的にどこでつまったか書かれた方がよろしいかと思います.
この回答への補足
以前のやり方によると体積要素というのが解答にあったのですが、まず体積要素っていうのがよくわからなかったです。φは被積分関数に含まれないから2πを与えるだけというのもあったのですが何が2πを与えるのですか?
あと
2π∬[r^2sinθdrdθdφ/(r^2-4arcosθ+4a^2)]
の計算したのですがsiegmundさんのような値にならなくて答えもでてきませんでした。siegmundさんが出した
(1/2)πr[log(2a+r)-log(2a-r)]
の計算もしてみましたがこちらのほうもできませんでした。(自分の計算ミスだとは思いますが積分がずっと続くパターンになってしまいました。)
このような感じな質問ですが(少し多すぎてスイマセン。)もしよかったらまたやってもらえますか。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 電気工事士 6.6kVケーブル単芯325sq-1.5kmの遮蔽銅テープ抵抗値は何Ω? 1 2023/05/02 21:06
- 化学 至急 ガスクロマトグラフィーについて教えていただきたいです。 試料溶液中のピリジン、フェノール、アセ 1 2022/07/06 01:11
- 数学 高校時代電離平衡の計算に関しての質問です。 問題集で、 酢酸は水溶液中で一部が電離し、次のような電離 2 2022/10/22 18:59
- 化学 ガスクロマトグラフィーについてです。 試料溶液中のピリジン、フェノール、アセトフェノンの重量比および 1 2022/07/04 17:36
- 数学 積分の計算にてこづっています。2曲線の面積を求める問題なのですが [-1/2cos2x+cosx]上 4 2022/06/25 12:55
- 数学 統計学の問題です。 2 2023/07/28 01:20
- 化学 至急 ガスクロマトグラフィーについて教えていただきたいです。 試料溶液中のピリジン、フェノール、アセ 2 2022/07/05 12:31
- 数学 「f(z)=1/(z^2-1)に関して ローラン展開を使う場合、マクローリン展開を使う場合、テイラー 3 2022/08/27 19:56
- 数学 積分の問題について 3 2022/06/02 13:43
- 数学 写真の問題について質問があります。 ①赤丸部分についてですが、グラフの面積がx軸で対称になっているか 3 2023/02/13 23:14
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
ln の関数電卓の計算がわかりま...
-
1000mmを1/40の縮尺で書きたい...
-
インテグラルからlnへの変換、...
-
どうして ln1 は 0なのか...
-
対数の計算について
-
三角スケールの見方
-
0.5時間などの時間計算の方法
-
1000分の3は何%ですか
-
logeの計算
-
kDaからbpへの変換について
-
10の0.3乗って??
-
付き合った日を1日から数える...
-
1÷0の答えを教えて下さい
-
1日目に1円 二日目に2円 三日目...
-
小数第一位までのときは、第二...
-
1/2÷1/2はなぜ1になるのか?
-
20000円の3分の2の計算のしかた...
-
ガラス器具の許容範囲誤差と有...
-
1000円の3割の計算教えて下さい
-
計算結果の微妙なズレ(大学入試)
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
インテグラルからlnへの変換、...
-
ln の関数電卓の計算がわかりま...
-
対数の計算について
-
1000mmを1/40の縮尺で書きたい...
-
どうして ln1 は 0なのか...
-
三角スケールの見方
-
変数分離の問題についてなのですが
-
自然対数の公式
-
関数の近似を教えて下さい。
-
ln0.19=xのとき、xの求め方が...
-
確率の計算について
-
三重積分の仕方 (続)
-
ln3/e-ln3eを計算するとどうな...
-
極限の問題
-
自然対数を含んだ計算
-
大学の数学の課題なのですけど...
-
ρuA=mをdρ/ρ+du/u+dA=0に変換
-
ln(-x)はlnxに変形できないです...
-
対数表の値
-
W=W0*exp(-E/kT)で、F∝√Wのと...
おすすめ情報