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n:自然数ㅤk≦mとする

(1+x+x²+x³+…+xᵐ)ⁿを展開したとき、x^kの係数を求めよ。

という問題です。

答えは (n+k-1)!/k!(n-1)! です。


しかし問題集の解説が分かりにくく、理解できず困っています。

詳しい方おられましたら、答えにたどり着くまでの過程をご教授いただけないでしょうか?

何卒よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

  • HAPPY

    ありがとうございます!もう一度自分で考えてみます。

      補足日時:2020/01/08 00:34

A 回答 (6件)

m → ∞ の極限を考えて (m が大きくなる分には問題ない) ベキ級数とかマクローリン展開とかでごり押しする手もある.



これなら組み合わせとかは無視していける.
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この回答へのお礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます!

お礼日時:2020/01/11 00:56

失礼しました。

誤りました。
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#3へ



問題の条件(k≦m)を無視してますよ。(m=1,k=2で成り立たないのは当たり前)
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答えは違っている。


(1+x)²=1+2x+x² だが、k=2で (n+k-1)!/k!(n-1)!=3≠1

多項定理により
p₀+p₁+・・・+p[m]=n としたとき、x^(p₁+2p₂+・・・+mp[m])の係数は
n!/(p₀!p₁!・・・p[m]!)
となるが、x^kの係数としては、p₁+2p₂+・・・+mp[m]=k であるが、kと
して示すのは難しい。
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あ, 日本語がおかしい. 「入れるます」ってなんだ. 「入れます」と読んでください.



で終わるとバカなのでちょっとだけ補足すると,
F1(x) = F2(x) = ... = Fn(x) = 1 + x + x^2 + ... + x^m
としたときに「区別のある箱」がそれぞれの Fi(x) に対応する.
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区別のできない k 個のボールを, 区別のある n 個の箱に入れるます. ただし, ボールの入っていない箱があってもよいことにします.



何通りの入れ方があるでしょうか.
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